Задача 7. Дана матрица линейного оператора в : .
1) Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора (матрицы).
2) Привести квадратичную форму, заданную матрицей в , к каноническому виду, а также найти ортонормированный базис, в котором она имеет этот вид.
3).Определить, является ли квадратичная форма знакоопределенной.
4) Построить линии уровня квадратичной формы.
Решение.
1) Определение. Пусть в задан линейный оператор (матрица) , вектор , , удовлетворяющий условию (1), где - некоторое число, называется собственным вектором линейного оператора, а - собственным значением (или числом) линейного оператора.
Если - матрица линейного оператора в некотором базисе, а координаты собственного вектора в этом базисе , то записывая соотношением (1) в координатной форме, получим:
(2)
Для отыскания собственного вектора, необходимо найти ненулевые решения этой однородной системы уравнений, которые существуют тогда и только тогда, когда
. (3)
Уравнение (3) называется характеристическим уравнением, его корни являются собственными значениями линейного оператора (матрицы) . Подставляя это число в (2), найдем ненулевое решение этой системы, которое определяет искомый собственный вектор.
|
|
Составим характеристическое уравнение (3) для заданной матрицы :
.
Отсюда корни , – собственные значения линейного оператора.
Найдем собственные векторы, соответствующие числу . При система (2) имеет вид:
.
Общее решение этой системы , где , т.е. собственные векторы, соответствующие собственному числу имеют вид:
, где , .
Например, при один из них: .
Аналогично найдем собственные векторы, соответствующие числу . Система (2) при имеет вид:
.
Общее решение , где . Отсюда собственные векторы, соответствующие собственному числу имеют вид:
, где , .
Например, .
2) Определение. Рассмотрим в произвольную симметричную матрицу (линейный оператор) , пусть - произвольный вектор. Квадратичной формой от n переменных называется скалярная функция вида:
. (4)
В пространстве она имеет вид:
, (5)
где .
Теорема. Пусть – квадратичная форма в евклидовом пространстве и – самосопряженный оператор, соответствующий этой форме. Тогда в существует ортонормированный базис , в котором приводится к каноническому виду:
, (6)
где – координаты вектора в базисе , этот базис можно взять из нормированных собственных векторов оператора с учетом кратности.
Из доказательства этой теоремы следует, что элементами этой диагональной матрицы будут собственные значения матрицы A:
. (7)
В канонический вид квадратичной формы (5):
, (8)
где - координаты вектора в указанном ортонормированном базисе .
|
|
Для заданной матрицы A квадратичная форма имеет вид:
.
Учитывая решение в пункте 1 () в силу указанной теоремы в новом базисе квадратичная форма примет вид:
- канонический вид.
Найдем ортонормированный базис, в котором она имеет этот вид. В пункте 1 мы нашли, что в качестве собственных векторов можно взять
, .
Пронормируем их, для этого найдем:
.
Тогда
, а .
Легко убедиться, что , т.к. и . Построим векторы:
-1 0 1
3) Определение. Квадратичная форма называется положительно определенной, если
(9)
и отрицательно определенной, если
. (10)
Положительные и отрицательные формы иногда называют знакопостоянными.
Теорема. Квадратичная форма положительно (отрицательно) определена, если и только если положительны (отрицательны) все соответствующие собственные значения соответствующего форме оператора.
Итак, положительная (отрицательная) определенность формы в общем случае легко устанавливается путем ее приведения к диагональному виду. Однако в отдельных случаях имеет большой интерес и непосредственный признак знакопостоянства формы. Из них мы рассмотрим так называемый критерий Сильвестра.
Критерий Сильвестра. Пусть – квадратичная форма в евклидовом пространстве и – матрица соответствующего оператора в некотором базисе. Тогда:
а) положительно определена, если и только если все угловые миноры матрицы положительны, т.е.
, , , и т.д.
б) отрицательно определена, если и только если знаки угловых миноров чередуются, начиная со знака минус, т.е.
, , и т.д.
Т.к. , , то по теореме, квадратичная форма знаконеопределена. Тот же вывод можно сделать и по критерию Сильвестра, т.к. .
4) Определение. Линия, заданная уравнением:
, где СÎR,
называется линией уровня квадратичной формы.
Согласно выше приведенной теореме, в ортонормированном базисе, составленном из нормированных собственных векторов матрицы A, линия уровня (9) имеет вид:
, (10)
где - собственные значения матрицы A.
Построим линии уровня квадратичной формы для заданной матрицы A, если и .
Согласно решению в пункте 2, она имеет канонический вид:
.
При линия уровня задается уравнением:
.
Преобразуем его:
или .
Это уравнение гиперболы в системе координат , - полуоси гиперболы, - действительная ось, - мнимая ось.
При линия уровня задается уравнением:
.
Это уравнения прямых линий в системе координат (асимптоты рассмотренной выше гиперболы).