Пример выполнения лабораторной работы

Задание

На развитие трех горных предприятий (i=1, 2, 3) выделены инвестиции в размере TI. Эффективность использования капиталовложений по этим предприятиям выражается зависимостью:

, (6.5)

где x_i - капиталовложения, выделенные i – му предприятию, A_i - коэффициент функции эффективности для i-го предприятия.

Необходимо так распределить инвестиционные ресурсы, чтобы суммарная эффективность их использования была максимальной. Решить задачу с помощью неопределенных множителей Лагранжа.

Математическая модель задачи выглядит следующим образом: максимизируется функция суммарной эффективности инвестирования, то есть

(6.6),

при бюджетном ограничении

(6.7).

Пусть запас инвестиционных ресурсов составляет 14, а функции эффективности использования инвестиционных ресурсов для предприятий составляют соответственно для первого _, для второго , для третьего

Тогда математическая модель примет вид:

(6.8).

Естественно, все переменные неотрицательны.

Строим функцию Лагранжа:

(6.9)

и ищем её «критические» точки. Для этого в соответствии с условием необходимости существования глобального экстремума для функции нескольких переменных, ищем частные производные функции и приравниваем их к нулю. В результате имеем систему уравнений:

(6.10)

В результате решения данной системы уравнений, получаем, x₁=1, x₂=4, x₃=9, l₁=0,05. Ограничение задачи математического программирования для данных корней системы уравнений выполняется, следовательно, критическая точка функции Лагранжа (1, 4, 9, 0,05), «укороченная» на координату l₁, является точкой условного экстремума заданной целевой функции (при заданном ограничении). При этом значение целевой функции составит 1,4.

MS Excel позволяет решать задачи нелинейного программирования. Для этого при установке параметров модели в «Поиске решений» не устанавливаем флажок «Линейная модель» (рис 6.1).

Рис.6.1. Установка параметров для решения задачи нелинейного программирования средствами MS Excel

Используем эту возможность для проверки полученного нами решения задачи. В результате составления модели задачи в MS Excel, а также поиска решения данным программным средством, подтверждается верность полученных нами результатов (рис. 6.2).

Рис.6.2.Решение задачи нелинейного программирования в MS Excel

Варианты для выполнения лабораторной работы №6

Задание

На развитие трех горных предприятий (i=1, 2, 3) выделены инвестиции в размере TI. Эффективность использования капиталовложений по этим предприятиям выражается зависимостью:

, (6.11)

где x_i - капиталовложения, выделенные i – му предприятию, A_i - коэффициент функции эффективности для i-го предприятия.

Необходимо так распределить инвестиционные ресурсы, чтобы суммарная эффективность их использования была максимальной. Решить для соответствующего варианта задачу нелинейного программирования с помощью множителей Лагранжа.

Проверьте полученное решение при помощи построения математической модели нелинейной задачи в MS Excel.

Необходимые значения параметров модели представлены в соответствии с номером варианта индивидуального задания в таблице 6.1.

Таблица 6.1

Вариант №	№№ предприятий для инвестирования[1]	Общее количество инвестиционных ресурсов, TI
	1,2,3	14,0
	1,2,3	2,1
	2,3,5	3,8
	2,3,6	9,8
	2,3,7	12,4
	2,3,4	58,0
	2,4,5	90,0
	2,4,6	14,0
	2,4,7	138,0
	2,5,7	39,0
	2,6,7	8,9
	1,3,4	78,0
	1,3,5	7,0
	1,2,5	300,0
	1,2,6	41,0
	4,5,7	3,6
	4,5,8	21,0
	4,5,9	6,1
	4,6,7	10,1
	4,6,8	11,6
	4,6,9	2,66
	4,7,8	25,8
	5,6,7	55,0
	4,7,9	73,0
	4,8,9	161,0
	5,6,8	62,5

A_i - коэффициент функции эффективности для i-го предприятия определяется из таблицы 6.2.

Таблица 6.2

№ предприятия
Ai - коэффициент функции эффективности для i-го предприятия	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9

5.Рекомендуемая литература

1. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике: Учебник. - М.: МГУ им. М.В.Ломоносова. Дело и Сервис, 1999. – С. 120-134.

2. Резниченко С.С., Ашихмин А.А. Математические методы и моделирование в горной промышленности. – М.: МГГУ, 1997. – С.187-213.