Основні властивості функції розподілу

1. Функція розподілу F(x) є неспадна функція свого аргументу, тобто при x₂>x₁ - F(x₂)³F(x₁)

2. При функція розподілу F(x)=0 тобто F()=0

3. При F(x)=1 тобто F()=1

4.

5. Якщо всі значення випадкової величини належать інтервалу (a, b), то

при функція розподілу F(x)=0,

при функція розподілу F(x)=1.

6. Графік інтегральної функції F(x) розподілу має вигляд

Дисперсія випадкової величини – характеризує розсіювання випадкової величини відносно математичного сподівання, позначається . За означенням: . Для дискретної випадкової величини: Для безперервної випадкової величини: Дисперсія має размірність квадрата випадкової величини. Для наочної характеристики розсіювання зручніше застосовувати величину з розмірністю випадкової величини. Тому з дисперсії добувають корінь, який називають середньоквадратичним відхиленням (СКВ) випадкової величини і позначають Отже: Властивості дисперсії: 1) ; 2) ; 3) X,Y - незалежні випадкові величини; 4) . Інші моменти вищих порядків дають можливість визначити додаткові характеристики розподілу, зокрема характеризують форму кривої розподілу. Це такі як асиметрія і ексцес. Вводяться коефіцієнти асиметрії і ексцесу (гостро- чи плосковершинності) розподілу, які визначаються відповідно: ; . Задачі для засвоєння матеріалу. Приклад 1. Функція розподілу безперервної випадкової величини задана виразом:

	Моменти центрованої випадкової величини називають центральними моментами. Центральний момент k –го порядку випадкової величини Х -це математичне сподівання k –го порядкувідповідної центрованої випадкової величини Для дискретної випадкової величини: , Для безперервної випадкової величини: Зв’язок між центральними і початковими моментами різних порядків. Із всіх моментів в якості характеристики випадкової величини найчастіше використовують перший момент (мат. сподівання) і другий центральный момент , який називають дисперсією випадкової величини.		Диференційна функція розподілу – або густина розподілу – це перша похідна від інтегральної функції розподілу . Властивості: густина розподілу визначена тільки для безперервної випадної величини. Графік диференційної функції розподілу називають кривою розподілу. Площа обмежена кривою диференційної функції розподілу і віссю абсцис дорівнює 1, і ймовірність попадання результату спостереження і випадкової похибки у заданий інтервал дорівнює цій площі. За кривою розподілу випадкових похибок можна визначити, які значення випадкових похибок більш ймовірні, які менш ймовірні. Функція розподілу результатів вимірювань чи похибок є універсальним способом розміщення випадкових похибок навколо істинного значення, але для їх визначення необхідно проводити складні дослідження і обчислення, тому суттєві особливості випадкових похибок описують за допомогою спеціальних числових характеристик. До них відносяться 1) характеристики положення розподілу результатів похибок: математичне сподівання, мода, медіана; 2) характеристика розсіювання випадкових похибок відносно істинного значення: дисперсія, середнє квадратичне відхилення. 3) моменти розподілу. Найважливішою характеристикою положення є математичне сподівання, яке показує середнє значення випадкової величини Математичне сподівання величини Х позначають М[X] або mx. Для дискретних випадкових величин М[X] визначається як сума добутків відповідних значень на їх ймовірність: . Теоретико-ймовірнісний зміст математичного сподівання – приблизно дорівнює середньому арифметичному значень випадкової величини:

	Властивості математичного сподівання: 1) Математичне сподівання сталої дорівнює сталій ; 2) ; 3) X,Y випадкові величини; 4) X,Y випадкові величини. Модою (Mod) випадкової величини Х називають її найбільшймовірне значення. За модою розподіл може бути одномодальним та багатомодальним або без модальним (див.рис.3). Одномодальний розподіл – розподіл, коли найбільшу ймовірність має одне значення. Для дискретної випадкової величини. Mod=X3 Рис.3. Одно модальний розподіл. Багатомодальний – конкретніше двохмодальний розподіл представлений на рис. 4. Рис. 4. Двохмодальний розподіл. Медіаною (Med) випадкової величини Х називають таке значення, для якого ймовірність того, що P(X<Med)=P(X>Med). У кожного розподілу Med може бути тільки одна. Med разділяє площу под кривою розподілу на 2 рівні частини. У випадку одномодального і симметричного розподілу mx=Mod=Med, в інших випадках співпадіння немає, див. рис5.		Моменти. Найчастіше для характеристики випадкових величин застосовуються моменти двох видів початкові і центральні. Початковий момент. k-го порядку - дискретной случайной величины Х называется сумма вида: -безперервної випадкової величини Х називаєтся інтеграл виду . Очевидно, що математичне сподівання випадкової величини - це початковий момент першого порядку Центрованою випадковою величиною називають відхилення випадкової величини Х від її математичного сподівання: . Математичне сподівання центрованої випадкової величини рівне 0. Для дискретної випадкової величини отримуємо: