Основные теоремы матим. анализа

Теорема Ферма.

Если f(x) дифф. в точке x0 и принимает в хтой точке наибольш. или наименьш. значение для некоторой окресности точки x0, то f’(x)=0.

Доказательство:

пусть f(x0) – наибольшая.

Теорема Ролля.

Если функция f(x) непрерывна на заданном промеж/ [a,b] деффер. на интервале (a,b) f(a)=f(b) то существует т. с из интерв. (a,b), такая, что f’(c)=0.

Теорема Коши.

Если f(x), g(x) удовл. трем условиям:

1). f(x), g(x) непрерыв. на промеж [a,b]

2). f(x), g(x) деффер. на интервале (a,b)

3). g’(x)¹0 на интер. (a,b), то сущ. т. с

g(b)¹g(a) (неравны по теореме Ролля).

1). F(x) – непрерывна на [a,b]

2). F(x) – дефференцированна на (a,b)

3). F(a)=0; F(b)=0

по теореме Ролля сущ. сÎ(a,b); F’(с)=0