2015-03-22
1304
Решение.
а) Возьмем на ребре 
произвольно точку 
. Из нее в плоскости грани 
проводим прямую 
, образующую угол 
с ребром 
, до пересечения с продолжением стороны 
в точке 
. Очевидно, что 
.
Из точки в плоскости грани 
проводим прямую 
, образующую угол 
с ребром ,(возможны два положения прямой) до пересечения с продолжением стороны 
в точке 
.
Очевидно, что 
(Рис. 1). Сечение 
- искомое.
б) Из точки 
опустим перпендикуляр 
на прямую 
и соединим точку 
и . По теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах, получим, что 
.
Следовательно, 
искомый угол.
Из прямоугольного 
имеем: 
.
Обозначим 
. Тогда 
, 
.
. 
.
. 
. 
.
Ответ: 
. Другой ответ: 
Пример 4.
Плоскость пересекает боковые ребра 
и 
треугольной пирамиды 
в точках 
и 
соответственно и делит объем пирамиды пополам.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, если 
, 
.
б) В каком отношении эта плоскость делит медиану 
грани 
?
Решение.
Пусть 
- проекция ребра 
на плоскость 
. Из подобия 
и 
:
, 
- отношение высот 
и 
пирамид 
и 
.
По условию 
, 
, 
, 
, 
.
Значит, точка делит ребро 
в отношении 
.
Сечение 
- искомое.
Обозначим: 
, 
, 
.
Система уравнений:
.
.
Ответ: 
считая от основания.
Пример.
Найти расстояние между серединами не смежных ребер в правильной треугольной пирамиде, все ребра которой равны 1.
Решение.
Пусть 
- середины не смежных ребер и 
.
Пусть 
, 
.
, 
, 
.
Ответ: 
