Решение типовых примеров для контрольной работы № 1

Содержание

ВВЕДЕНИЕ.. 4

Решение типовых примеров для контрольной работы № 1. 5

Задания к контрольной работе № 1. 11

Решение типовых примеров для контрольной работы № 2. 22

Задания к контрольной работе № 2. 25

Вопросы к экзамену. 30

Приложение.. 30

Литература.. 35

ВВЕДЕНИЕ

Настоящее пособие предназначено для студентов заочного отделения. Пособие содержит образцы решения задач, задания для контрольных работ, вопросы к экзамену и список литературы.

При выполнении контрольных работ следует руководствоваться следующими указаниями.

1. Каждую работу следует выполнять в отдельной тетради, на обложке которой должны быть указаны фамилия и инициалы студентов, полный шифр, номер контрольной работы. Решения всех задач и пояснения к ним должны быть достаточно подробными. Все вычисления (в том числе и вспомогательные) необходимо делать полностью. Чертежи и графики должны быть выполнены аккуратно и четко с указанием масштаба, координатных осей и других элементов чертежа. Объяснения к задачам должны соответствовать тем обозначениям, которые даны на чертеже.

2. После получения работы (как зачтенной, так и незачтенной) студент должен исправить в ней все отмеченные рецензентом недостатки. В случае незачета студент обязан в кратчайший срок выполнить все требования рецензента и представить работу на повторное рецензирование, приложив при этом первоначально выполненную работу.

4. Студент выполняет тот вариант контрольных работ, который совпадает с двумя последними цифрами его учебного шифра.

Решение типовых примеров для контрольной работы № 1

Задание № 1 Вычислить пределы

1) ; 2) ,

3) , 4) .

Решение.

1) .

2) , при подстановке вместо переменной х ее предельного значения 3 получается неопределенность вида . Для избавления от этого типа неопределенности в нашем случае представим квадратные трехчлены числителя и знаменателя в виде произведения линейных множителей, воспользовавшись известной формулой

ax ² + bx + c = a (x – x ₁)∙(x – x ₁),

где х ₁, х ₂ – корни квадратного трехчлена ax ² + bx + c.

У нас , так как дискриминант квадратного трехчлена а следовательно, х ₁ = 3, . Аналогично x ² – x – 6 = (x - 3)∙(x + 2).

Теперь условие примера можно переписать в другом виде и продолжить решение:

;

3) .

Здесь сталкиваемся с неопределенностью , избавиться от которой можно вынесением за скобки в числителе и знаменателе дроби старшей степени переменной:

;

4)

В данном случае для освобождения от неопределенности будем использовать первый замечательный предел и одно из его очевидных следствий:

; .

Решение примера будет выглядеть следующим образом:

Задание № 2 Найти производные функций

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

При решении всех последующих примеров на нахождение производных будут использованы известные правила дифференцирования суммы, разности, произведения, дроби и теорема о производной сложной функции:

а) ;

б) ;

в)

г) если задана сложная функция y = f (u), где u = j (x), то есть y = f (j (х)); если каждая из функций y = f (u) и u = j (x) дифференцируема по своему аргументу, то

Решение.

1) ,

2)

;

3)

;

4)

.