Исследовать функцию и построить график
.
Решение.
1) Областью определения данной функции являются все действительные значения аргумента х,то есть
D (y): а это значит, что функция непрерывна на всей числовой прямой и ее график не имеет вертикальных асимптот.
2) Исследуем функцию на интервалы монотонности и экстремумы. С этой целью найдем ее производную и приравняем нулю:
.
Решая полученное квадратное уравнение, делаем вывод о том, что функция имеет две критические точки 1 рода х 1 = - 5, х 2 = - 1. Разбиваем область определения этими точками на части и по изменению знака производной в них выявляем промежутки монотонности и наличие экстремума:
х | -5 | (-5, -1) | -1 | ||
+ | — | + | |||
f (x) | max | min | |||
.
3) Определим точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости. Для этого найдем вторую производную заданной функции и приравняем ее к нулю:
.
Итак, функция имеет одну критическую точку 2 рода
х = - 3;. разобьем область определения полученной точкой на части, в каждой из которых установим знак второй производной:
x | -3 | ||
— | + | ||
f (x) | т.п. | ||
Значение х = - 3 является абсциссой точки перегиба графика функции, а ордината этой точки
.
4) Выясним наличие у графика заданной функции наклонных асимптот. Для определения параметров уравнения асимптоты
y = kx+b воспользуемся формулами
.
.
Таким образом, у графика заданной функции наклонных асимптот нет.
5) Для построения графика изобразим точки максимума
А 1(- 5; 4), минимума А 2(- 1 - 4), перегиба А 3(-3; 0) и точку
А 4(0; ).пересечения графика с осью Оу.
С учетом результатов предыдущих исследований построим кривую (см. рис. 2).
Рисунок2
Задания к контрольной работе № 1