Проекции точки

Проецирование точки на три плоскости проекций координатного угла начинают с полу­чения ее изображения на плоскости H — горизонтальной плоскости проекций. Для этого через точку А (рис. 185, а) проводят проеци­рующий луч перпендикулярно плоскости H.

На рисунке перпендикуляр к плоскости Н параллелен оси Oz. Точку пересечения луча с плоскостью Н (точку а) выбирают произ­вольно. Отрезок Аа определяет, на каком рас­стоянии находится точка А от плоскости Н, указывая тем самым однозначно положение точки А на рисунке по отношению к плоскостям проекций. Точка а является прямоугольной проекцией точки А на плоскость Н и называется горизонтальной проекцией точки А (рис. 185, а).

Для получения изображения точки А на плоскости V (рис. 185,6) через точку А про­водят проецирующий луч перпендикулярно фронтальной плоскости проекций V. На ри­сунке перпендикуляр к плоскости V паралле­лен оси Оу. На плоскости Я расстояние от точки А до плоскости V изобразится отрезком аа_x параллельным оси Оу и перпендикуляр­ным оси Ох. Если представить себе, что прое­цирующий луч и его изображение проводят одновременно в направлении плоскости V, то когда изображение луча пересечет ось Ох в точке а_Х, луч пересечет плоскость V в точ­ке а'. Проведя из точки а_х в плоскости V перпендикуляр к оси Ох, который является изображением проецирующего луча Аа на плоскости V_y в пересечении с проецирующим лучом получают точку а׳. Точка а׳ является фронтальной проекцией точки A, т. е. ее изображением на плоскости V.

Изображение точки А на профильной пло­скости проекций (рис. 185, в) строят с по­мощью проецирующего луча, перпендикуляр­ного плоскости W. На рисунке перпендикуляр к плоскости W параллелен оси Ох. Проеци­рующий луч от точки А до плоскости W на плоскости Н изобразится отрезком аа_у, парал­лельным оси Ох и перпендикулярным оси Оу. Из точки а_у параллельно оси Ог и перпенди­кулярно оси Оу строят изображение проеци­рующего луча аА и в пересечении с проеци­рующим лучом получают точку а". Точка а" является профильной проекцией точки Л, т. е. изображением точки А на плоскости W.

Точку а" можно построить, проведя от точки а' отрезок а'а_z (изображение проецирую­щего луча Аа" на плоскости V) параллельно оси Ох, а от точки а_z — отрезок а"а_z парал­лельно оси Оу до пересечения с проецирующим лучом.

Получив три проекции точки А на плоско­стях проекций, координатный угол разверты­вают в одну плоскость, как показано на рис. 184,6, вместе с проекциями точки А и проецирующих лучей, а точку А и проеци­рующие лучи Аа, Аа׳ и Аа" убирают. Края совмещенных плоскостей проекций не проводят, а проводят только оси проекций Oz, Oy и Ох, Оу (рис. 185).

Анализ ортогонального чертежа точки пока­зывает, что три расстояния — Aa׳, Аа и Аа" (рис. 185, в), характеризующие положение точки А в пространстве, можно определить, отбросив сам объект проецирования — точку А, на развернутом в одну плоскость координатном угле (рис. 186). Отрезки а'а_z аа_у и Оа_х равны Аа" как противоположные стороны соответствующих прямоугольников (рис. 185, в и 186). Они определяют расстояние, на котором находится точка А от профильной плоскости проекций. Отрезки а!а_х, а"а_У1 и Оа_г равны отрезку Аа, определяют расстояние от точки А до горизонтальной плоскости проек­ций, отрезки аа_х, а"а_y1 и Oa_z равны от­резку Аа', определяющему расстояние от точки А до фронтальной плоскости проекций. Отрезки Оа_х, Оа_у и Оа_z, расположенные на осях проекций, являются графическим выражением размеров координат X, Y и Z точки А. Координаты точки обозначают с индек­сом соответствующей буквы. Измерив величину этих отрезков, можно определить положение точки в пространстве, т. е. задать коорди­наты точки.

На эпюре отрезки а'а_х и аа_х располагаются как одна линия, перпендикулярная к оси Ох, а отрезки а'а_z и а"а_z — к оси О_Z. Эти линии называются линиями проекционной связи. Они пересекают оси проекций в точ­ках а_х и а_z соответственно. Линия проекцион­ной связи, соединяющая горизонтальную про­екцию точки А с профильной, оказалась «раз­резанной» в точке а_у.

Две проекции одной и той же точки всегда располагаются на одной линии проекционной связи, перпендикулярной к оси проекций.

Для представления положения точки в про­странстве достаточно двух ее проекций и за­данного начала координат (точка О). На рис. 185,6 две проекции точки полностью определяют ее положение в пространстве. По этим двум проекциям можно построить профильную проекцию точки А. Поэтому в дальнейшем, если не будет необходимости в профильной проекции, эпюры будут постро­ены на двух плоскостях проекций: V и Н. Рассмотрим несколько примеров построе­ния и чтения чертежа точки.

Пример 1. Определение координат точки В, заданной на эпюре двумя проекциями (рис. 187). Измеряются три отрезка: отре­зок Оb_х (координата X), отрезок b_Хb (коор­дината X) и отрезок b_Хb' (координата Z). Координаты записывают в следующем порядке: X, У и Z, после буквенного обозначения точки, например, В20; 30; 15.

Пример 2. Построение точки по заданным координатам. Точка С задана координатами С30; 10; 40. На оси Ох (рис. 188) находят точку с_х, в которой линия проекционной связи пересекает ось проекций. Дляэтого по оси Ох от начала координат (точка О) откладывают координату X (размер 30) и получают точку с_х. Через эту точку перпендикулярно оси Ох про­водят линию проекционной связи и от точки с_x вниз откладывают координату Y (размер 10), получают точку с׳ — горизонтальную проек­цию точки С. Вверх от точки с_х по линии проекционной связи откладывают коорди­нату Z (размер 40), получают точку с' — фронтальную проекцию точки С.

Пример 3. Построение профильной проекции точки по заданным проекциям. Заданы проек­ции точки D — d и d'. Через точку О прово­дят оси проекций Оz, Оу и Оу₁ (рис. 189, а). Для построения профильной проекции точки D от точки d' проводят линию проекционной связи, перпендикулярную оси Оz, и продолжают ее вправо за ось Оz. На этой линии будет рас­полагаться профильная проекция точки D. Она будет находиться на таком расстоянии от оси Ог, на каком горизонтальная проекция точки d располагается_: от оси Ох, т. е. на расстоянии dd_x.

Отрезки d_zd" и dd_x одинаковы, так как определяют одно и то же расстоя­ние — расстояние от точки Л до фронтальной плоскости проекций. Это расстояние является координатой Y точки D.

Графически отрезок d_zd" строят перенесе­нием отрезка dd_x с горизонтальной плоскости проекций на профильную. Для этого проводят линию проекционной связи параллельно оси Оx где, получают на оси Оу точку d_y (рис. 189,6). Затем переносят размер от­резка Od_y на ось Оу₁, проведя из точки О дугу радиусом, равным отрезку Od_y, до пересечения с осью Оу₁ (рис. 189,6), получают точку d_y1. Эту точку можно построить и как показано на рис. 189, в, проведя прямую под углом 45° к оси Оу из точки dy.

Из точки d_y1 проводят линию проекционной связи парал­лельно оси Ог и на ней откладывают отрезок, равный отрезку d'd_x, получают точку d".

Перенос величины отрезка d_xd на профиль­ную плоскость проекций можно осуществить с помощью постоянной прямой чертежа (рис. 189, г). В этом случае линию проек­ционной связи dd_y проводят через горизон­тальную проекцию точки параллельно оси Оу₁ до пересечения с постоянной прямой, а затем параллельно оси Оу до пересечения с про­должением линии проекционной связи d'd₂.