Законы логики

1. А <=> A закон двойного отрицания;

2. A&B <=> B&A коммутативность конъюнкции;

3. AVB <=> BVA коммутативность дизъюнкции;

4. A&(B&C) <=> (A&B)&C ассоциативность конъюнкции;

5. AV(BVC) <=> (AVB)VC ассоциативность дизъюнкции;

6. A&(BVC) <=> (A&B)V(A&C) дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции;

7. AV(B&C) <=> (AVB)&(AVC) дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции;

8. A&A <=> A

9. AVA <=> A

10. AVA <=> И закон исключенного третьего;

11. A&A <=> Л закон непротиворечия;

12. A&И <=> A

13. AVИ <=> И

14. A&Л <=> Л

15. AVЛ <=> A

16. (A&B) <=> A V B законы де Моргана;

17. (AVB) <=> A & B

18. A => B <=> A V B замена импликации.

Основываясь на законах, можно выполнять упрощение сложных логических выражений. Такой процесс замены сложной логической функции более простой, но равносильной ей, называется минимизацией функции.

Пример 1. Упростить выражения так, чтобы в полученных формулах не содержалось отрицания сложных высказываний.

Решение

Пример 2. Минимизировать функцию

Решение

При упрощении выражения использовались формулы поглощения и склеивания.

Пример 3. Найти отрицание следующего высказывания: "Если урок будет интересным, то никто из учеников (Миша, Вика, Света) не будет смотреть в окно".

Решение

Обозначим высказывания:

Y - "Урок интересный";

M - "Миша смотрит в окно";

B - "Вика смотрит в окно";

C - "Света смотрит в окно".

При упрощении выражения использовались формула замены операций и закон де Моргана.

Пример 4. Определить участника преступления, исходя из двух посылок:

1) "Если Иванов не участвовал или Петров участвовал, то Сидоров участвовал";

2) "Если Иванов не участвовал, то Сидоров не участвовал".

Решение

Составим выражения:

I - "Иванов участвовал в преступлении";

P - "Петров участвовал в преступлении";

S - "Сидоров участвовал в преступлении".

Запишем посылки в виде формул:

Тогда

Проверим результат, используя таблицу истинности:

Ответ: Иванов участвовал в преступлении.