Примеры. №1. Пользуясь безразностными формулами по 3 точкам, определить первые производные для функции у=х2 на интервале [1; 3] с шагом 0,2 и сравнить их значения с

№1. Пользуясь безразностными формулами по 3 точкам, определить первые производные для функции у=х ² на интервале [1; 3] с шагом 0,2 и сравнить их значения с аналитическими.

Решение.

Воспользуемся формулами (5.1):

Для сравнения этих значений с аналитическими составим таблицу:

i	хi	у=х 2	Аналитические значения у΄=2х	Численные значения у΄
	1,2 1,4 1,6 1,8 2,2 2,4 2,6 2,8	1,44 1,96 2,56 3,24 4,84 5,76 6,76 7,84	2,4 2,8 3,2 3,6 4,4 4,8 5,2 5,6	2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,4 4,8 5,2 5,6

Таким образом, мы видим, что все значения первой производной полностью совпадают с аналитическими.

№2. Пользуясь безразностными формулами по 4 точкам, определить первые производные для функции у=х ³ на отрезке [1; 3] с шагом 0,2 и сравнить эти значения с аналитическими.

Решение.

Пользуемся формулами (5.2):

и т.д. по формуле для .

Для сравнения полученных значений с аналитическими составим таблицу:

i	хi	у=х 3	Аналитические значения у´= 3 х 2	Численные значения у´(х)
	1,2 1,4 1,6 1,8 2,2 2,4 2,6 2,8	1,728 2,744 4,096 5,832 10,648 13,824 17,576 21,952	4,32 5,88 7,68 9,72 14,52 17,28 20,28 23,52	4,32 5,88 7,68 9,72 14,52 17,28 20,28 23,52

Получим, что для функции у=х ³ численное дифференцирование по 4 точкам дает такие же значения, что и аналитические.

№3. Найти вторую производную для функции у=х ³ на отрезке [1; 3] с шагом 0,2, пользуясь безразностными формулами по 4 точкам и сравнить полученные значения с аналитическими.

Решение.

Воспользуемся формулами (5.4):

(первое значение)

(последнее значение)

и т.д. по формуле для внутренних точек.

Для сравнения составим таблицу:

i	хi	у=х 3	Аналитические значения у″= 6 х	Численные значения у″
	1,2 1,4 1,6 1,8 2,2 2,4 2,6 2,8	1,728 2,744 4,096 5,832 10,648 13,824 17,576 21,952	7,2 8,4 9,6 10,8 13,2 14,4 15,6 16,8	7,2 8,4 9,6 10,8 13,2 14,4 15,6 16,8

Таким образом, получим, что для функции у=х ³ численное нахождение второй производной по 4 точкам дает такие же значения, что и аналитические.

Варианты заданий

№ 5.1. Получить таблицы значений следующих функций на интервале от 1 до 3 с шагом 0,2. Пользуясь безразностными формулами по 4 точкам, найти численные значения первой производной в этих точках, и сравнить полученные значения с аналитическими.

1. у=е^х;

2. ;

3. у= ln x;

4. ;

5. y= sin x;

6. y=e ^{2 x};

7. ;

8. у= (х– 1 ) ²;

9. y= cos x;

10. y =ln x ²;

№ 5.2. Получить таблицы значений следующих функций на интервале от 1 до 3 с шагом 0,2. Пользуясь безразностными формулами по 3 точкам, найти численные значения первой производной в этих точках, и сравнить полученные значения с аналитическими.

11. у =sin x;

12. y =cos x;

13. y =sin (x ² );

14. y =sin² x;

15. y =cos² x;

16. y =sin ( 2 x);

17. y =cos ( 2 x);

18. ;

19. y= ln² x;

20. y= ln³ x;

№ 5.3. Для перечисленных функций, пользуясь безразностными формулами по 4 точкам, найти вторые производные в точках от 1 до 3 с шагом 0,2 и сравнить полученные значения с аналитическими.

21. y = e ^{2 x} ;

22. ;

23. ;

24. у =(х –1)²;

25. y =ln(x ²);

26. y = ;

27. y= sin² x;

28. ;

29. ;

30. .

5.5. Контрольные вопросы