Пример № 1.
Дежурный администратор города имеет 5 телефонов. Звонки поступают с интенсивностью 90 звонков/час. Средняя продолжительность разговора составляет 2 мин.
Определить характеристики дежурного администратора как системы массового обслуживания.
Решение:
1. Классифицировать СМО: с отказами (нет накопителя); многоканальная (5 телефонов = 5 каналов).
2. Обозначения:
λ – интенсивность потока заявок (λ=90зв/60мин=3зв/2мин)
n – число каналов (n=5);
μ – интенсивность потока обслуживания, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени (μ=1/ tобс)
tобс – среднее время обслуживания (tобс=2мин)
ρ – интенсивность нагрузки;
k – номер заявки (число заявок), k=n=5;
Р0 – вероятность простоя каналов обслуживания, когда нет заявок;
Ротк – вероятность отказа в обслуживании, когда поступившая на обслуживание заявка найдет все каналы занятыми;
Робс – вероятность обслуживания.
nз = ρ* Робс - среднее число занятых обслуживанием каналов.
кз = nз / n - для каналов, занятых обслуживанием.
|
|
А = λ Робс - абсолютная пропускная способность СМО.
3. Определяем характеристики данной СМО:
а) ρ = λ/μ = λ/(1/tобс) = λ tобс = 3/2 * 2 = 3
n
б) Ро= 1/ (Σρк/к!) = 1/ (ρ0/0!)+(ρ1/1!)+(ρ2/2!)+(ρ3/3!)+(ρ4/4!)+(ρ5/5!)=
к=0
=1/ (1+3/1)+(3*3/1*2)+(3*3*3/1*2*3)+(3*3*3*3/1*2*3*4)+
+(3*3*3*3*3/1*2*3*4*5)=1/ 1+3+(9/2)+(27/6)+(81/24)+(243/120)=0,054
в) Ротк= ρn/ n!* Ро= (35/ 1*2*3*4*5)*0,054=(3*3*3*3*3/1*2*3*4*5)*0,054=
= (243/120)*0,054=0,12
г) Робс = 1- Ротк= 1-0,12=0,88
д) nз = ρ*Робс= 3*0,88=2,6
е) кз = nз / n = 2,6/5=0,52
ж) А = λ Робс = (3/2)*0,88 = 1,31.
Пример № 2.
На автомобильной стоянке возле магазина имеется 2 места. Рядом находится площадка на 2 а/м. На стоянку прибывает 1 машина в 3 мин. Среднее время нахождения водителя в магазине 2 мин.
Определить характеристики этой СМО.
Решение:
1) Классифицируем СМО:
- с ограниченной длиной очереди
- с накопителем
- многоканальная
- с ограничением общего времени пребывания заявки в системе СМО с ожиданием и с ограниченной длиной очереди.
2) Обозначения:
m=2 - длина накопителя
n=2 - число каналов
Остальные обозначения - как в Примере № 1.
3) Определяем характеристики данной СМО:
а) λ = 1/3;
б) tобс = 2 мин;
в) ρ = λ/μ = λ/(1/tобс) = λ tобс = (1/3)*2=2/3.
г) Вероятность простоя каналов:
n
Ро= 1/(Σρк/n!)+ρn+1/n!(n-ρ)*[1-(ρ/n)m]= 1/ ((ρ0/0!)+(ρ1/1!)+(ρ2/2!)+
к=0
+(ρ2+1/1*2(2-ρ))*[1-(ρ/2)2]=1/ ((2/3)/0!)+2/3+((2/3)2/(1*2))+
+((2/3)3/ 2(2-2/3)) [1- ((2/3)/2)]= 1/ 1+2/3+2/9+1/9[1-1/9]=0,52
д) Вероятность отказа в обслуживании:
Ротк= ρn+m/ n!nm*Ро= ((2/3)4/1*2*22 )*0,52=(16/81)/8*0,52=0,013
е) Вероятность обслуживания:
Робс = 1- Ротк= 0,987
ж) Абсолютная пропускная способность:
А = λ Робс= 0,987*1/3=0,33
з) Среднее число занятых каналов:
nз = ρ*Робс= 2/3*0,987=0,658
Для каналов, занятых обслуживанием:
кз = 0,658/2=0,329.
|
|
и) Среднее число заявок в очереди:
_
Lor= ρn+1/n*n! * (1-(ρ/n)m(m+1-mρ/n))/(1-ρ/n)2 * Ро
_
Lor =((2/3)3/(2*2))* 1-((2/3)/2)2)*(2+1-2*((2/3)/2))/ (1-(2/3)/2)2) *0.52
=(8/27)/4* * (1-1/9*7/3) /(4/9)= 2/27*((20/27)/(4/9))*0.52=2/27*5/3*0.52=0.14
к) Среднее время ожидания обслуживания:
_
tor= Lor/ λ = 0.14/0.33=0.42
л) Среднее число заявок в системе:
_
Z= Lor+ nз =0,14+0,66=0,8
м) Среднее время пребывания в системе:
tсмо= Z/ λ = 0,8/0,33=2,42 или tсмо= tor+ toбс= 0,42+2=2,42 мин
Контрольные вопросы:
1. Что понимается под системами массового обслуживания (СМО) и для чего они предназначены?
2. Какие блоки включает схема СМО?
3. Что понимается под характеристикой эффективности работы СМО?
4. На какие классы делятся СМО в зависимости от:
а) характера потоков,
б) числа каналов,
в) дисциплины обслуживания,
г) ограничения потока заявок,
д) количества этапов обслуживания?
5. Что понимается под «потоком обслуживания заявок»?
6. Что представляет собой интенсивность входящего потока и какова единица измерения этого показателя?
7. Перечислите основные характеристики эффективности функционирования многоканальной СМО с отказами?
8. Перечислите основные характеристики эффективности функционирования многоканальной СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди?
9. Перечислите основные характеристики эффективности функционирования многоканальной СМО с неограниченным ожиданием?