Рассмотрим задачу безусловного экстремума.
Найти экстремум функции z=х²+ху+у²-2х-3у.
Найдем частные производные.
Первая производная по х: z ׳ х=2х+у-2
Первая производная по у: z ׳ у=х+2у-3
Решим систему уравнений. 2х+у=2
х+2у=3
Получаем критическую точку (1/3; 4/3).
Найдем вторые частные производные.
Вторая производная по х: z ׳׳ хх=2
Вторая производная по у: z ׳׳ уу=2
Смешанные производные z ׳׳ ху=z ׳׳ ух=1
Составим определитель 2 1
Δ= 1 2 = 4-1=3
Следовательно, экстремум есть. Так как Δ=3>0 и z ׳׳ хх =2>0, то в точке (1/3; 4/3) точка минимума.
Примечание:
Достаточные условия «экстремума функции двух переменных:
а) если Δ>0 и z׳׳хх< 0 (z׳׳уу > 0), то в точке (х, у) функция z имеет максимум;
если Δ>0 и z׳׳хх> 0 (z׳׳уу < 0), то в точке (х, у) функция z имеет минимум;
б) если Δ<0, то экстремума нет;
в) если Δ=0, то вопрос об экстремуме остается открытым.