Лекция 2. Дифференцируемость функции нескольких переменных

Дифференцируемость функции нескольких переменных. Дифференциал, его свойства. Применение дифференциала к приближенным вычислениям. Дифференцирование сложных функций. Инвариантность формы дифференциала.

При исследовании вопросов, связанных с дифференцируемостью, ограничимся случаем функции трех переменных, поскольку все доказательства для большего количества переменных проводятся так же.

Определение 2.1. Полным приращением функции u = f(x, y, z) называется

(2.1)

Теорема 2.1. Если частные производные существуют в точке (х₀, у₀, z₀) и в некоторой ее окрестности и непрерывны в точке (x₀, y₀, z₀), то

, (2.2)

где α, β, γ – бесконечно малые, зависящие от Δ х, Δ у, Δ z.

Доказательство.

Представим полное приращение Δ u в виде:

где каждая разность представляет собой частное приращение функции только по одной из переменных. Из условия теоремы следует, что к этим разностям можно применить теорему Лагранжа. При этом получим:

Так как по условию теоремы частные производные непрерывны в точке (х₀, у₀, z₀), можно представить их в виде:

где . Теорема доказана.

Можно показать, что где . Действительно, α, β и γ – бесконечно малые при ρ→0, а - ограниченные (т.к. их модули не превышают 1).

Тогда приращение функции, удовлетворяющей условиям теоремы 2.1, можно представить в виде: , (2.3)

где (2.4)

Определение 2.2. Если приращение функции u = f (x, y, z) в точке (x₀, y₀, z₀) можно представить в виде (2.3), (2.4), то функция называется дифференцируемой в этой точке, а выражение - главной линейной частью приращения или полным дифференциалом рассматриваемой функции.

Обозначения: du, df (x₀, y₀, z₀).

Так же, как в случае функции одной переменной, дифференциалами независимых переменных считаются их произвольные приращения, поэтому

(2.5)

Замечание 1. Итак, утверждение «функция дифференцируема» не равнозначно утверждению «функция имеет частные производные» - для дифференцируемости требуется еще и непрерывность этих производных в рассматриваемой точке.

Замечание 2. Если в формуле (2.5) считать , и частными дифференциалами данной функции (как функции одного из аргументов), то можно сказать, что полный дифференциал равен сумме частных дифференциалов.

Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

По аналогии с линеаризацией функции одной переменной можно при приближенном вычислении значений функции нескольких переменных, дифференцируемой в некоторой точке, заменять ее приращение дифференциалом. Таким образом, можно находить приближенное значение функции нескольких (например, двух) переменных по формуле:

, (2.6)