2015-03-27
3231
Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Нахождение наибольших и наименьших значений.
Определение 5.1. Точка М0 (х0, у0) называется точкой максимума функции z = f (x, y), если f (xo, yo) > f (x, y) для всех точек (х, у) из некоторой окрестности точки М0.
Определение 5.2. Точка М0 (х0, у0) называется точкой минимума функции z = f (x, y), если f (xo, yo) < f (x, y) для всех точек (х, у) из некоторой окрестности точки М0.
Замечание 1. Точки максимума и минимума называются точками экстремума функции нескольких переменных.
Замечание 2. Аналогичным образом определяется точка экстремума для функции от любого количества переменных.
Теорема 5.1 (необходимые условия экстремума). Если М0 (х0, у0) – точка экстремума функции z = f (x, y), то в этой точке частные производные первого порядка данной функции равны нулю или не существуют.
Доказательство.
Зафиксируем значение переменной у, считая у = у0. Тогда функция f (x, y0) будет функцией одной переменной х, для которой х = х0 является точкой экстремума. Следовательно, по теореме Ферма 
или не существует. Аналогично доказывается такое же утверждение для 
.
|
|
|
Определение 5.3. Точки, принадлежащие области определения функции нескольких переменных, в которых частные производные функции равны нулю или не существуют, называются стационарными точками этой функции.
Замечание. Таким образом, экстремум может достигаться только в стационарных точках, но не обязательно он наблюдается в каждой из них.
Примеры.
- Найдем стационарную точку функции z = x ² + y ². Для этого решим систему уравнений
откуда х0 = у0 = 0. Очевидно, что в этой точке функция имеет минимум, так как при х = у = 0 z = 0, а при остальных значениях аргументов z > 0. - Для функции z = xy стационарной точкой тоже является (0, 0), но экстремум в этой точке не достигается (z ( 0, 0) = 0, а в окрестности стационарной точки функция принимает как положительные, так и отрицательные значения).
Теорема 5.2 (достаточные условия экстремума). Пусть в некоторой окрестности точки М0 (х0, у0), являющейся стационарной точкой функции z = f (x, y), эта функция имеет непрерывные частные производные до 3-го порядка включительно. Обозначим 
Тогда:
1) f (x, y) имеет в точке М0 максимум, если AC – B ² > 0, A < 0;
2) f (x, y) имеет в точке М0 минимум, если AC – B ² > 0, A > 0;
3) экстремум в критической точке отсутствует, если AC – B ² < 0;
4) если AC – B ² = 0, необходимо дополнительное исследование.
Доказательство.
Напишем формулу Тейлора второго порядка для функции f (x, y), помня о том, что в стационарной точке частные производные первого порядка равны нулю:
|
|
|
где 
Если угол между отрезком М0М, где М (х0+ Δ х, у0+ Δ у), и осью О х обозначить φ, то Δ х = Δ ρ cos φ, Δ y = Δρsinφ. При этом формула Тейлора примет вид: 
. Пусть 
Тогда можно разделить и умножить выражение в скобках на А. Получим:
. (5.1)
Рассмотрим теперь четыре возможных случая:
1) AC-B ² > 0, A < 0. Тогда 
, и 
при достаточно малых Δρ. Следовательно, в некоторой окрестности М0 f (x0 + Δ x, y0 + Δ y) < f (x0, y0), то есть М0 – точка максимума.
2) Пусть AC – B ² > 0, A > 0. Тогда 
, и М0 – точка минимума.
3) Пусть AC-B ² < 0, A > 0. Рассмотрим приращение аргументов вдоль луча φ = 0. Тогда из (5.1) следует, что 
, то есть при движении вдоль этого луча функция возрастает. Если же перемещаться вдоль луча 
такого, что tg φ0 = -A/B, то 
, следовательно, при движении вдоль этого луча функция убывает. Значит, точка М0 не является точкой экстремума.
3`) При AC – B ² < 0, A < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится
аналогично предыдущему.
3``) Если AC – B ² < 0, A = 0, то 
. При этом 
. Тогда при достаточно малых φ выражение 2 B cosφ + C sinφ близко к 2 В, то есть сохраняет постоянный знак, а sinφ меняет знак в окрестности точки М0. Значит, приращение функции меняет знак в окрестности стационарной точки, которая поэтому не является точкой экстремума.
4) Если AC – B ² = 0, а 
, 
, то есть знак приращения определяется знаком 2α0. При этом для выяснения вопроса о существовании экстремума необходимо дальнейшее исследование.
Пример. Найдем точки экстремума функции z = x ² - 2 xy + 2 y ² + 2 x. Для поиска стационарных точек решим систему 
. Итак, стационарная точка (-2,-1). При этом А = 2, В = -2, С = 4. Тогда AC – B ² = 4 > 0, следовательно, в стационарной точке достигается экстремум, а именно минимум (так как A > 0).
