Задача Коши для уравнения первого порядка

Как уже было сказано, общим решением уравнения (16.2) является все множество функций, обращающих при подстановке рассматриваемое уравнение в тождество. Пусть теперь требуется найти решение этого уравнения, удовлетворяющее условию

у (х₀) = у₀, (16.3)

называемому начальным условием. Если общее решение уравнения (16.2) задается формулой у = φ (х, С), (16.4)

то значение постоянной С, соответствующее поставленному начальному условию, можно определить, подставив в равенство (16.4) х = х₀ и у = у₀.

Определение 16.3. Задача выбора из общего решения (16.4) уравнения (16.2) решения, удовлетворяющего начальному условию (16.3), называется задачей Коши, а выбранное решение называется частным решением уравнения (16.2).

Замечание. Если воспринимать множество всех решений уравнения (16.2) как множество интегральных кривых на плоскости, то ставится задача поиска той из них, которая проходит через точку с координатами (х₀, у₀). Выясним, при каких условиях такая кривая существует и является единственной.