2015-03-27
1856
1. Уравнения с разделяющимися переменными.
Дифференциальные уравнения вида
f2(y)dy = f1(x)dx (17.1)
называются уравнениями с разделяющимися переменными. Тогда любое решение у(х) этого уравнения будет удовлетворять и уравнению
, (17.2)
где с – произвольная постоянная. Если удается найти первообразные функций f1(x) и f2(y), выраженные в элементарных функциях, то из (17.2) можно получить конечное уравнение вида Ф (х, у) = 0, (17.3)
которое определяет решение у(х) уравнения (17.1) как неявную функцию х.
Определение 17.1. Уравнение вида (17.3) называется интегралом уравнения (17.1), а если оно определяет все решения (17.1) – общим интегралом этого уравнения.
Пример.
. Приведем уравнение к виду (17.1): 
, откуда 
. Проинтегрируем обе части равенства: 
. Полученное уравнение можно считать общим интегралом или решением исходного уравнения.
Если требуется найти частное решение уравнения (17.1), удовлетворяющее условию у(х0)=у0, достаточно подставить значения х0 и у0 в уравнение (17.3) и найти значение с, соответствующее начальному условию.
|
|
|
Пример.
Найти решение уравнения y′ ctg x + y = 2, удовлетворяющее условию у (0) = -1.
Разделим переменные: 
, -ln | 2 – y | = -ln | cos x | - ln | c |,
2 – y = c • cos x. Подставив в это равенство х = 0 и у = -1, получим, что с = 3. Следовательно, искомое частное решение имеет вид: y = 2 – 3cos x.
2. Уравнения, приводимые к уравнениям с разделяющимися переменными.
Если требуется решить уравнение вида 
, (17.4)
где а и b – постоянные числа, то с помощью замены переменной z = ax+by оно сводится к уравнению с разделяющимися переменными:
Пример.
. Замена: z = 4 x + 2 y – 1, тогда 
+ с. Вычислим интеграл в левой части равенства: замена 
приводит к 
Проинтегрировав теперь правую часть равенства, получим общий интеграл: 
3.Однородные уравнения.
К уравнениям с разделяющимися переменными приводятся и так называемые однородные дифференциальные уравнения первого порядка, имеющие вид:
. (17.5)
Действительно, замена 
или y = xt приводит к 
Еще одной формой однородного уравнения является уравнение
M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0, (17.6)
если М(х,у) и N(x,y) – однородные функции одинаковой степени однородности. При этом 
.
Пример.
y ² + x ² y′ = xyy′. Преобразуем уравнение к виду (17.5): y′ (xy – x ²) = y ², 
,
. После замены y = xt получим: 
, 
t – ln | t | = ln | x | + ln | C|, 
, 
.
В однородные можно преобразовать и уравнения вида
(17.7)
с помощью замены Х = х – х1, Y = y – y1, где х1, у1 – решение системы уравнений
a1x + b1y + c1 = 0, a2x + b2y + c2 = 0.
(C геометрической точки зрения производится перенос начала координат в точку пересечения прямых a1x + b1y + c1 = 0 и a2x + b2y + c2 = 0). Тогда, поскольку 
, в новых переменных уравнение примет вид:
или 
- однородное уравнение.
|
|
|
Пример.
(у + 2) dx = (2 x + y – 4) dy. Запишем уравнение в виде 
. Решением системы у + 2 = 0, 2 х + у – 4 = 0 будут х1 = 3, у1 = -2. В новых переменных Х = х – 3,
Y = y + 2 получим однородное уравнение 
, которое можно решить с помощью обычной замены Y = Xt. Тогда 
, 
,
, 
и после обратной замены общий интеграл выглядит так: 
. Заметим, в это общее решение входит при С =0 и частное решение у = 1 – х, которое могло быть потеряно при делении на у + х –1.
4. Линейные уравнения.
Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида
, (17.8)
линейное относительно неизвестной функции у(х) и ее производной. При этом будем предполагать, что р(х) и f(x) непрерывны.
В случае, когда f(x) ≡ 0, уравнение (17.8) называется однородным. Такое уравнение является уравнением с разделяющимися переменными:
, откуда 
.(17.9)
При делении на у могло быть потеряно решение у = 0, но оно входит в общее решение при С = 0.
Для решения неоднородного уравнения (17.8) применим метод вариации постоянной. Предположим, что общее решение уравнения (17.8) имеет форму (17.9), в которой С – не постоянная, а неизвестная функция аргумента х: 
. Тогда
. Подставив эти выражения в уравнение (17.8), получим: 
+ р(х) 
= f(x), откуда
(17.10)
Замечание. При решении конкретных задач удобнее не использовать в готовом виде формулу (17.10), а проводить все указанные преобразования последовательно.
Пример.
Найдем общее решение уравнения у′ = 2 х (х ² + y). Представим уравнение в виде:
y′ - 2 xy = 2 x³ и решим соответствующее однородное уравнение: y′ - 2 xy = 0.
. Применим метод вариации постоянных: пусть решение неоднородного уравнения имеет вид:
, тогда 
. Подставим полученные выражения в уравнение: 
. Следовательно, 
,
При этом общее решение исходного уравнения 
.
К линейным уравнениям можно свести с помощью замены некоторые другие дифференциальные уравнения, например, уравнение Бернулли:
(17.11)
Разделив на уп, получим: 
, а замена z = y 1- n, 
приводит к линейному уравнению относительно z:
.
Пример.
. Сделаем замену:
. Относительно z уравнение стало линейным: 
.
Решим однородное уравнение: 
. Применим метод вариации постоянных: 
. Подставим эти результаты в неоднородное уравнение:
Окончательно получаем: 
Дополним это общее решение частным решением у = 0, потерянным при делении на у 4.
