Тема 5 Неопределенный интеграл

Понятие первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла (с доказательством). Таблица основных интегралов. Интегрирование методом разложения, замены переменной и по частям. Понятие о «неберущихся» интегралах.

Студенту необходимо, прежде всего, разобраться в принципиальном вопросе: интегральное исчисление решает обратную задачу – нахождение самой функции по ее производной. Эта задача является более сложной по сравнению с задачей дифференцирования.

òf(x)dx=F(x)+C,

f(x) – подынтегральная функция, f(x)dx – подынтегральное выражение, F(x) – первообразная функция, ò – знак интеграла, С – константа.

Следует изучить свойства неопределенного интеграла, знать табличные интегралы. Обратить внимание на свойство: дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению d(òf(x)dx)=f(x)dx, то есть операции интегрирования и дифференцирования взаимно обратны (знаки d и ò взаимно уничтожают друг друга).

Непосредственное интегрирование предполагает сведение интегралов к табличным за счет тождественных преобразований и основных правил интегрирования.

Для вычисления интегралов применяют линейную подстановку t=kx+b, а также другие подстановки:

а) переменная интегрирования х заменяется функцией переменной t: x=j(t), а dx=j¢(t)dt; òf(x)dx=òf(j(t))j¢(t)dt;

б) новая переменная t вводится как функция переменной интегрирования x: t=j(x), dt=j¢(x)dx; òf(j(x))j¢(x)dx=òf(t)dt.

Последнюю подстановку удобно применять, если подынтегральное выражение содержит дифференциал (производную) функции j(х) с точностью до постоянного множителя.

Если интеграл, полученный после замены переменной, стал «проще» данного (преобразован в табличный или приводящийся к табличному), то цель подстановки достигнута.

После интегрирования функции по переменной t необходимо вернуться к прежней переменной х, выразив t через хпо формуле, применявшейся при подстановке.

Практическое применение формулы интегрирования по частям

òu dv=uv - òv du,

если оно целесообразно, связано с проблемой правильного разбиения подынтегральноговыражения на сомножители u и dv. Отметим, что формулу интегрирования по частям, как правило, удобно применять, если подынтегральная функция является произведением многочлена на тригонометрическую, показательную или логарифмическую функцию.