2015-03-27
397
Условиям задачи соответствует уравнение(8) в виде:
(40)
И соответствующая конечно-разностная схема (35), которая может быть получена следующим образом.
Опустим через водную массу полуось Z от поверхности вниз по направлению к дну водоёма. Тогда решение задачи будет построение графика температуры по глубине для каждого заданного момента времени. Такому решению соответствует, конечно-разностная сетка (рис. 4) с начальными и граничными условиями:
при 
и при 
.
Рисунок Со стр 17
рис. 4
Для решения уравнения (40) необходимо получить зависимость перехода от одного слоя времени к другому. Получим её для сетки с постоянными шагами как по времени (
), так и по глубине (
).
Уравнение (40), вписанное в конечных разностях
(41)
для точки с координатами 
верно в том случае, если мы учтём различия в изменении температуры по глубине на интервалах выше узла сетки и ниже его, откуда вторая производная будет иметь вид
(42)
Производная от температуры по времени для узла сетки имеет вид
|
|
|
(43)
Подставляя выражения производных в конечных разностях через углы сетки, получим
откуда
(44)
Подбирая величину шагов и или константы коэффициента правой части из условия его равенства единице:
, (45)
получим 
. (46)
Таким образом, температура воды в очередном узле сетки ищется как полу сумма температур из выше и нижерасположенных узлов на предыдущем слое времени. Очевидно, что граничное условие поверхности должно быть дополнено граничным условием на заданной глубине (или по дну водоёма). Тогда возможны различные варианты исследования с помощью ЭВМ. Например, при заданных реальных начальным и граничных условиях определяется время достижения температуры поверхности искомой величины. Или при тех же граничных условиях и при условиях гомотермии определяется время выхолаживания (осень) и время прогревания (весна) водоёма. При выводе решения на экран в виде таблицы или графика появляется возможность расширения круга задач по анализу изменения температуры воды по глубине водоёма.
