Методы решения задач

После того, как установлена цель, дана физическая и полная математическая формулировка задачи, следует выбрать метод её решения. Такова первоначальная последовательность работы, но необходимо иметь ввиду, что существует и обратная связь – выбор метода может побудить несколько, изменить формулировку задачи в сторону уточнения или, наоборот, огрубления схемы исследуемого природного явления или технического процесса.

Основные методы решения задач тепломассопереноса следующие:

а) аналитический,

б) конечных разностей (графический, численный),

в) моделирования (физического и математического),

г) аналогий (электрической, гидравлической).

Всякая задача имеет лишь одно решение, но форма решения может быть различной. Во всех случаях решение должно удовлетворять уравнению теплового баланса (УТБ) непосредственно для отсека (или уравнению теплопроводности УТБ) и краевым условиям. При использовании ЭЦВМ наиболее употребим метод конечных разностей. Метод состоит в том, что в УТБ, которое подлежит решить, все бесконечно малые разности (дифференциалы) заменяются конечными, но малыми разностными величинами. Таким образом, истинное непрерывное в пространстве распределение температуры и непрерывные во времени ход температуры заменяется приближёнными прерывистыми значениями, усредняющими температуры конечных малых участков тела и малых промежутков времени .

Достоинства. Возможность решить весьма сложные задачи, в том числе с телами сложной формы, с переменными ГУ и теплофизическими характеристиками, с изменением агрегатного состояния и т.д. Рассмотрим возможности решения уравнения переноса с использованием ЭВМ.

Уравнение (16) является квазилинейным из-за нелинейной зависимости его правой части от температуры. В настоящее время метод конечных разностей является единственным, позволяющим найти эффективное решение таких уравнений. При гидрологических расчётах с помощью (13) и (16) выбор конечно-разностной схемы решения имеет важное значение. Это обусловлено малой изученностью гидро- и термодинамики водотоков, отсутствием подробных гидрометеорологических данных наблюдений, а также сложностью реализации балансовых задач на ЭВМ.

Уравнение (16) можно рассматривать как уравнение переноса:

(30)

(здесь и - конечная и начальная температура), для которого формулируется краевая задача, когда при задаю граничное значение , и решение ищется при , При , причём .

Построим основную сеть с постоянными шагами и . Обозначим эту сеть , введём в рассмотрение сеть , полученную с помощью добавлением к ней узловых точек и , совпадающих с серединами интервалов и .

Используем схему вида:

(31)

и примем

(32)

Полученная схема по форме записи соответствует физике процесса, так как в гидрофизических задачах обычно принимается, что

, (33)

то есть правая часть уравнения (31) зависит от средней тем­пературы по и .

Рассмотрим частный случай. Пусть = 0 или V=0, тогда из (30) получаем

. (34)

Соответственно, схема (31) преобразуется в схему

. (35)

Последняя решается методом итераций (подбором численного значения , входящего в правую и левую части уравнения (30)).

Интересно отметить, что схема (31) и использованная связь (32) совпадают с рекомендациями Б.А. Браславского (1964) для расчёта термического режима в проточном водоёме. Отличие в том, что схема (31) записана в более общем виде и выбор предусматривается не графоаналитическим, а численно на ЭВМ.

Для неподвижного водоёма Д.И. Бибиковым и Н.Н. Петруничевым (1950) приведена графоаналитическая схема решения уравнения (34). В её основе лежит связь (38), так как решение ищется как среднее за период . Там же рассмотрен пример решения задачи проектирования распределения температуры по длине водотока. В основу предлагаемого способа положено уравнение (16) при допущениях(37) и при пренебрежении первым членом уравнения (16).

Очевидно, что система (31) – (32) является наиболее общим вариантом решения прикладной задачи теплопереноса.

Однако часто пользуются (рис. 3) уравнением теплового баланса для отсека

(36)

Рис. 3. Схема теплопотоков на границах водного отсека.

Уравнение (36) для расчёта термического режима водотока используется в конечно-разностной форме (39). Последняя связывает среднюю начальную и конечную температуру отсека воды за период с температурой верхнего и нижнего створов участка, а также со средней за тот же период, т.е. соответствует схеме (31). При его применении для практических расчётов вводят связь между температурой воды створов отсека воды и средней температурой отсека

(37)

а также связь средней по объёму температуры воды с конечной и начальной температурой

. (38)

Тогда система и уравнение (36) запишутся следующим образом:

(39)

где - средняя температура верхнего и нижнего створов; - средние значения начальной и конечной тем­пературы отсека; - расходы воды через верхний и нижний створы. Рассматривая слагаемые, выражающие адвективный перенос тепла, можно предположить, что , тогда произведение , представляет собой тепловой приток и сток с рассматриваемого участка с размерами .

Уравнение (39) позволяет выполнять расчёты термического режима водоёмов, но не чувствительность к изменению уровня по длине водотока и во времени снижает точность результатов.

В отличие от (39) в формулах (13) и (16) учитывается распределение температуры воды по сечению с использованием информаций об изменениях морфометрических условий и не стационарности движения воды. Кроме того, эти уравнения идеально приспособлены для реализации на ЭВМ.