Методические указания. Аналитическая геометрия – это раздел математики, в котором изучают свойства геометрических объектов (точек

Аналитическая геометрия – это раздел математики, в котором изучают свойства геометрических объектов (точек, линий, поверхностей и тел) средствами алгебры и математического анализа при помощи метода координат.

Суть аналитической геометрии заключается в том, что геометрическим объектам сопоставляются уравнения или системы уравнений, так что их геометрические свойства выражаются в свойствах их уравнений. Благодаря этому можно находить длины отрезков, их ориентацию в пространстве, углы между ними, площади различных фигур и т. п., без построения чертежей с помощью линейки и циркуля, без измерения длин отрезков и углов между ними.

В аналитической геометрии наиболее широко используется так называемая декартова система координат, которая представляет собой две пересекающиеся под прямым углом оси, одна из которых направлена горизонтально слева направо и называется осью абсцисс, вторая – направлена снизу вверх, она перпендикулярна оси абсцисс и называется осью ординат. Точка пересечения осей обозначается буквой О и имеет нулевое значение как на оси абсцисс, так и на оси ординат.

Всю плоскость эти две оси разбивают на четыре части называемые четвертями или квадрантами (от латинского qwadro – четыре). Верхний правый квадрант называется первым, верхний левый – вторым, далее, двигаясь против часовой стрелки, – третий и четвертый. Любую точку М на плоскости можно определить двумя числами – расстояниями от этой точки до координатных осей. Эти числа называются координатами данной точки. Расстояние от точки М до оси ординат обозначается х, и называется абсциссой этой точки, расстояние до оси абсцисс обозначается у, и называется ординатой точки М.

Поэтому краткая запись положения точки на плоскости имеет вид М(х; у), где х и у некоторые числа.

у М ₂(х ₂; у ₂)

у ₁ N

М₁ (х ₁; у ₁)

0 х ₁ х ₂ х

Рисунок 1 – Определение расстояния между двумя точками на плоскости

Если даны точки, М ₁ и М ₂, координаты которых известны, можно легко найти расстояние между ними. Как видно из рисунка 1, искомое расстояние это гипотенуза прямоугольного треугольника Δ М ₁ М ₂ N. По теореме Пифагора

.

В то же время, очевидно, , . Тогда

.

Таким образом, используя формулы аналитической геометрии, можно найти уравнения прямых, координаты точек их пересечения, углы между ними и тому подобные характеристики геометрических объектов.

Задача 1. Координаты вершин треугольника А (–2; 5), В (10, –4), С (8, 10). Найти:

1) периметр треугольника АВС с точностью до 0,01;

4) уравнение стороны АВ в общем виде и ее угловой коэффициент;

3) координаты точки пересечения медиан;

4) уравнение высоты CD;

Решение 1. По исходным данным построим чертеж исследуемого треугольника.

y

12

С

8

А

4 D Е

-4 0 4 8 12 x

-4 В

Рисунок 2 – Исследуемый треугольник АВС

Периметр треугольника равен сумме длин его сторон:

P _∆ABC = AB + BC + CA.

Длину каждой стороны треугольника находим по формуле расстояния между точками: .

.

Итак: Р _∆ABC = 15 + 14,14 + 11,18 ≈ 40,32.

2. Уравнение прямой, проходящей через две точки А (x ₁; y ₁) и B (x ₂; y ₂), имеет вид: . Подставим в это уравнение значения координат точек А и В

.

Выполним преобразования

; ; 4(y – 5) = -3(x + 2); 4 y – 20 = -3 x – 6,

отсюда общее уравнение прямой АВ: 3 x + 4 y – 14 = 0.

Для нахождения углового коэффициента прямой АВ приведем ее общее уравнение к виду y = k x + b:

4 y = -3 x + 14, , откуда k_AB = .

3. Точка К пересечения медиан делит медиану АЕ в отношении λ = 2 ׃ 1, считая от вершины А. Точка Е – середина отрезка ВС. Найдем ее координаты, используя формулы:

и подставляя в них координаты точек В и С:

. Следовательно, Е (9; 3).

По свойству точки пересечения медиан Подставим значения координат и параметра λ в формулы:

Получаем

Итак, точка пересечения медиан К (5 ; 3 ).

4. Высота СD перпендикулярна стороне АВ, следовательно, их угловые коэффициенты удовлетворяют условию

, откуда .

Для составления уравнения высоты СD используем уравнение

y − y ₀ = k ∙(x − x ₀ ).

Подставив значения координат точки С и угловой коэффициент k _CD, получим уравнение высоты CD

y − 10 = (x − 8), откуда 3 (y − 10) = 4 (x − 8), или 4 x − 3 y − 2 = 0.

Вопросы для самопроверки

1.Напишите формулу для определения расстояния между двумя точками плоскости.

2. Напишите формулы для определения координат точки, делящей данный отрезок в данном отношении.

3. Напишите уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

4. Какой вид имеет уравнение прямой с угловым коэффициентом?

5. В чем заключается геометрический смысл углового коэффициента?