Предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей однородных случайных событий, которые при определенных условиях могут либо произойти, либо нет.
Вероятностью Р события А называется отношение числа исходов m, благоприятствующих появлению события А, к числу n всех равновозможных исходов испытания
.
Вероятность события принимает значения от 0 до 1.
Если производится несколько независимых испытаний, причем вероятность события в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются повторными независимыми относительно события А. Если при этом вероятность появления события А в каждом испытании одна и та же, то они называются повторными независимыми испытаниями.
Примеры решения задач
Задача 1 3. Вероятность прорастания семян огурцов равна 0,8. Какова вероятность того, что из 5 посеянных семян прорастут: а) три; б) не менее четырех.
Решение. Если производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А одна и та же и равна p, то вероятность что событие А появится в этих n испытаниях m раз, выражается формулой Бернулли
, где , .
а) В нашем случае, p = 0,8, n = 5, m = 3, q=1 – p. Следовательно,
.
б) Прорастание не менее 4 семян означает, что должно взойти либо четыре, либо пять растений. Пусть событие А означает, что из 5 семян взойдут не менее 4 семян; событие В – из 5 взойдут 4; С – из 5 взойдут 5. Поскольку события В и С несовместны, вероятность наступления события А равна сумме вероятностей этих событий
Вероятность события В
.
Для события , и вероятность наступления события С
.
Таким образом, вероятность того, что из пяти посеянных семян взойдут не менее четырех
.
Вопросы для самопроверки
1. Сформулируйте определение вероятности события.
2. Какие события называются повторными, независимыми?
3. В каких случаях применяется формула Бернулли?