Примеры решения задач. Задача 14. Результаты обследования семей по числу членов оказались таким 2; 5; 3; 4; 1; 3; 6; 2; 4; 3; 4; 1; 3; 5; 2; 3; 4; 4; 3

Задача 14. Результаты обследования семей по числу членов оказались таким 2; 5; 3; 4; 1; 3; 6; 2; 4; 3; 4; 1; 3; 5; 2; 3; 4; 4; 3. Получить по этим данным вариационный ряд и построить полигон распределения относительных частот.

Решение. Проведем ранжирование ряда. Для этого перепишем результаты наблюдений в порядке возрастания вариант:

1; 1; 2; 2; 2; 3; 3: 3; 3; 3; 3; 3; 4; 4; 4; 4; 4; 5; 5; 6.

Определяем частоты различных вариант. Варианта 1 встречается два раза. Следовательно, ее частота равна m ₁ = 2. Варианта 2 встречается три раза. Следовательно, ее частота равна m ₂ = 3. Аналогично получаем m ₃ = 7, m ₄ = 5, m ₅ = 2, m ₆ = 1.

Определяем относительные частоты наблюдавшихся в выборке вариант. Они равны отношению соответствующей частоты варианты к общему числу наблюдений. Имея в виду, что общее число наблюдений (объем выборки) равно n = 20, относительная частота варианты 1 будет равна . Аналогично

, , ,

, .

Проверяем правильность расчетов. Для этого суммируем относительные частоты

= 0,10 + 0,15 + 0,35 + 0,25 + 0,10 + 0,05 = 1,00.

Сумма всех относительных частот равна единице, следовательно, вычисления произведены верно. Результаты вычислений сводим в таблицу 2, которая называется вариационным рядом или рядом распределения.

Таблица 2 –Распределение числа членов семьи

Значения варианты х_i
Частота варианты m_i
Относительная частота варианты ω_i	0,10	0,15	0,35	0,25	0,10	0,05

Зависимость относительных частот варианты от ее значения изобразим на графике (рис. 4). Концы ординат относительных частот соединяем прямыми линиями. Полученный график называется полигоном распределения относительных частот.

ω_i

0,3

0,2

0,1

0 1 2 3 4 5 6 x

Рисунок 4 – Полигон распределения относительных частот

Задача 15. Известны урожайности в центнерах на один гектар яровой пшеницы в 20 хозяйствах: 13,9; 12,4; 13,1; 6,3; 11,8; 11,6; 10,5; 10,4; 10,6; 11,3; 15,1; 11,7; 11,3; 10,2; 11,0; 10,7; 8,2; 9,6; 10,2; 15,1. Получить интервальный ряд распределения и начертить гистограмму.

Решение. Записываем исходные данные в виде ранжированного ряда: 6,3; 8,2; 9,6; 10,2; 10,2; 10,4; 10,5; 10,6; 10,7; 11,0; 11,3; 11,3; 11,6; 11,7; 11,8; 12,4; 13,1; 13,9; 15,1; 15,1.

Рассматривая этот ряд, видим, что диапазон изменения вариант в выборке составляет 6 – 16.

Весь диапазон изменения вариант в выборке разбиваем на несколько интервалов. Размер интервала выбирается произвольно, но следует иметь в виду, что чем меньше интервал, тем точнее результаты. Принимаем размер интервала равным 2 единицам (∆ x_i = 2). Получаем пять интервалов: 6 – 8, 8 – 10, 10 – 12, 12- 14, 14 – 16.

Определяем частоту попадания вариант выборки в каждый интервал. В первый интервал попадает одно значение (6,3) из ряда, поэтому m ₁ = 1. Во второй попадает два значения (8,2 и 9,6), поэтому m ₂ = 2. Аналогично получаем m ₃ = 12, m ₄ = 3, m ₅ = 2.

Определяем относительные частоты попадания вариант выборки в каждый интервал:

, , ,

, .

Проверяем правильность расчетов. Для этого суммируем относительные частоты: = 0,05 + 0,10 + 0,60 + 0,15 + 0,10 = 1,00.

Сумма всех относительных частот равна единице, следовательно, вычисления произведены правильно.

Определяем плотность относительных частот вариант как отношение относительной частоты ω_i к размеру интервала ∆ x_i:

, , ,

, .

Результаты вычислений поместим в таблицу 3.

Таблица 3 – Интервальный ряд распределения урожайности яровой пшеницы

Интервал значений урожайности ∆ х_i	6 - 8	8 - 10	10 - 12	12 - 14	14 - 16
Частота варианты m_i
Относительная частота варианты ω_i	0,05	0,10	0,60	0,15	0,10
Плотность относительных частот	0,025	0,050	0,300	0,075	0,050

Выполняем построение графика показывающего зависимость плотности относительных частот от значений вариант.

0,3

0,2

0,1

0 6 8 10 12 14 16 x

Рисунок 5 – Гистограмма распределения плотности относительных частот

По горизонтальной оси наносим шкалу возможных значений вариант, по оси ординат – плотность относительных частот. Получаем столбчатую диаграмму, которая называется гистограммой распределения плотности относительных частот.

Задача 16. Даны величины 25 единиц выборки: 9; 11; 9; 6; 6; 7; 6; 8; 9; 9; 11; 10; 6; 7; 6; 8; 9; 10; 4; 9; 10; 7; 8; 9; 6. Определить: 1) величину, которую следует принять за среднюю генеральной совокупности; 2) величину, которую следует принять за дисперсию генеральной совокупности; 3) доверительный интервал с границами .