Пусть – изолированная особая точка однозначной аналитической в области функции . Рассмотрим интеграл от этой функции по произвольному замкнутому контуру , лежащему в области и содержащему внутри единственную особую точку функции . Условия интегральной теоремы Коши в этом случае не выполнены, значит, может быть отличен от нуля. Иначе: разделим контур на две части произвольными точками так, что из точки в точку можно идти двумя различными путями и . Разность интегралов
вообще говоря, не обязательно равна нулю. Возникает понятие вычета.
Определение.Вычетом функции в точке называется комплексное число, равное значению интеграла . Здесь – произвольный замкнутый контур в области , охватывающий единственную особую точку функции (контур обходится в положительном направлении).
Вычет функции в точке обозначается символом или (от лат. residuum – вычет):
.
Пример 1. Показать, что вычет функции в точке равен коэффициенту при минус первой степени в лорановском разложении в окрестности .
|
|
Решение. Пусть – изолированная особая точка функции . Запишем соответствующее лорановское разложение:
. (1)
Возьмем произвольный контур , охватывающий точку и расположенный в кольце сходимости ряда (1). Почленно проинтегрируем равномерно сходящийся ряд (1) вдоль контура в положительном направлении. В примере 2 п.2 было показано, что если точка находится внутри контура , то
.
Значит, справа остается только одно слагаемое:
. ☻
Задача 1. Показать, что вычет в устранимой особой точке равен нулю.
Вычет функции в изолированной особой точке может быть отличен от нуля только для полюса или существенно особой точки, и то при условии, что .
Задача 2. Показать, что вычет функции в точке равен 1.
Пример 2. Найти вычет функции в точке . Вычислить интеграл .
Решение. Запишем лорановское разложение функции в окрестности существенно особой точки : . Так как коэффициент , то . Это следует и из четности функции = . В круге точка является единственной особой точкой функции .
По определению вычета . ☻
Задача 3. С помощью лорановского разложения показать, что в двукратном полюсе вычет функции равен нулю.
Пусть функция в точке имеет простой полюс, тогда
. (2)
Чтобы найти вычет функции в точке (коэффициент ), умножим обе части разложения (2) на :
.
Переходя к пределу при , получаем формулу для вычисления вычета в простом полюсе:
. (3)
Пример 3. Найти вычет функции в точке .
Решение. Так как для функции точка является простым нулем, то для функции это простой полюс. Поэтому по формуле (3) находим . ☻
Задача 4. Найти вычеты функции в ее особых точках.
|
|
Ответ: .
Пусть функция в точке имеет полюс -го порядка, тогда
. (4)
Сначала умножим обе части разложения (4) на :
Чтобы найти коэффициент , надо почленно продифференцировать это разложение раз и перейти к пределу при .
Получим формулу для вычисления вычета в -кратном полюсе:
. (5)
Пример 4. Найти вычеты функции в ее особых точках.
Решение. Данная функция имеет две особые точки: (простой полюс) и (трехкратный полюс).
Для точки по формуле (3) находим:
.
Для точки по формуле (5), полагая там , получим
☻
Задача 5. Найти вычеты функции в ее особых точках.
Ответ: , .
Задача 6. Пусть функция , имеющая в точке простой полюс, в окрестности точки представляется как частное двух аналитических функций: , где , , но (то есть в точке функция имеет простой нуль). Покажите, что формула (3) в этом случае принимает вид
. (6)
Указание. Воспользоваться определением производной функции в точке : .
Пример 5. Вычислить .
Решение. Для функции точка является простым полюсом (простым нулем для знаменателя ).
Полагая в формуле (6) , , получаем
.☻
Интеграл от аналитической функции по замкнутому контуру , содержащему внутри изолированные особые точки данной функции, помогает вычислить
Основная теорема о вычетах. Пусть является аналитической в области , за исключением конечного числа особых точек … . Тогда
. (7)
Пример 6. Вычислить интеграл .
Решение. В круге подынтегральная функция имеет простые полюсы в точках . По формуле (7) запишем:
.
С помощью формулы (6) вычислим каждое слагаемое:
;
;
.
Сумма всех вычетов равна .
Значит, . ☻
Задача 6. Показать, что .
Определение. Вычетом функции в бесконечно удаленной точке называется число, равное значению интеграла , взятому в отрицательном направлении (по часовой стрелке) вдоль границы окрестности точки .
Задача 7. Показать, что в бесконечно удаленной точке вычет функции равен взятому с противоположным знаком коэффициенту при минус первой степени в лорановском разложении этой функции в окрестности точки :
.
Если функция в бесконечно удаленной точке имеет устранимую особенность, то не обязательно равен нулю.
Пример 7. Найти вычет функции в точке .
Решение. Так как , то заданная функция в бесконечно удаленной точке имеет устранимую особенность. Представим функцию в виде , здесь . Значит, . ☻
Задача 8. Показать, что .
Вычет функции в бесконечно удаленной точке помогает также находить
Теорема. Пусть – аналитическая и однозначная в полной комплексной плоскости функция, за исключением конечного числа изолированных особых точек ,..., и точки . Тогда сумма вычетов функции относительно всех этих точек равна нулю:
. (8)
Пример 8. Найти .
Решение. Сумма вычетов функции в особых точках найдена в примере 6 и равна . В силу формулы (8) запишем
Значит, . Отсюда следует, что
. ☻
Пример 9. Пользуясь соотношением (8), вычислить интеграл .
Решение. Подынтегральная функция в круге имеет десять изолированных особых точек , расположенных на единичной окружности . В силу соотношения (8) и основной теоремы о вычетах имеем
.
Но вычет четной функции в бесконечно удаленной точке равен нулю, поэтому и . ☻