Основная теорема о вычетах

Пусть – изолированная особая точка однозначной аналитической в области функции . Рассмотрим интеграл от этой функции по произвольному замкнутому контуру , лежащему в области и содержащему внутри единственную особую точку функции . Условия интегральной теоремы Коши в этом случае не выполнены, значит, может быть отличен от нуля. Иначе: разделим контур на две части произвольными точками так, что из точки в точку можно идти двумя различными путями и . Разность интегралов

вообще говоря, не обязательно равна нулю. Возникает понятие вычета.

Определение.Вычетом функции в точке называется комплексное число, равное значению интеграла . Здесь – произвольный замкнутый контур в области , охватывающий единственную особую точку функции (контур обходится в положительном направлении).

Вычет функции в точке обозначается символом или (от лат. residuum – вычет):

Пример 1. Показать, что вычет функции в точке равен коэффициенту при минус первой степени в лорановском разложении в окрестности .

Решение. Пусть – изолированная особая точка функции . Запишем соответствующее лорановское разложение:

. (1)

Возьмем произвольный контур , охватывающий точку и расположенный в кольце сходимости ряда (1). Почленно проинтегрируем равномерно сходящийся ряд (1) вдоль контура в положительном направлении. В примере 2 п.2 было показано, что если точка находится внутри контура , то

Значит, справа остается только одно слагаемое:

. ☻

Задача 1. Показать, что вычет в устранимой особой точке равен нулю.

Вычет функции в изолированной особой точке может быть отличен от нуля только для полюса или существенно особой точки, и то при условии, что .

Задача 2. Показать, что вычет функции в точке равен 1.

Пример 2. Найти вычет функции в точке . Вычислить интеграл .

Решение. Запишем лорановское разложение функции в окрестности существенно особой точки : . Так как коэффициент , то . Это следует и из четности функции = . В круге точка является единственной особой точкой функции .

По определению вычета . ☻

Задача 3. С помощью лорановского разложения показать, что в двукратном полюсе вычет функции равен нулю.

Пусть функция в точке имеет простой полюс, тогда

. (2)

Чтобы найти вычет функции в точке (коэффициент ), умножим обе части разложения (2) на :

Переходя к пределу при , получаем формулу для вычисления вычета в простом полюсе:

. (3)

Пример 3. Найти вычет функции в точке .

Решение. Так как для функции точка является простым нулем, то для функции это простой полюс. Поэтому по формуле (3) находим . ☻

Задача 4. Найти вычеты функции в ее особых точках.

Ответ: .

Пусть функция в точке имеет полюс -го порядка, тогда

. (4)

Сначала умножим обе части разложения (4) на :

Чтобы найти коэффициент , надо почленно продифференцировать это разложение раз и перейти к пределу при .

Получим формулу для вычисления вычета в -кратном полюсе:

. (5)

Пример 4. Найти вычеты функции в ее особых точках.

Решение. Данная функция имеет две особые точки: (простой полюс) и (трехкратный полюс).

Для точки по формуле (3) находим:

Для точки по формуле (5), полагая там , получим

☻

Задача 5. Найти вычеты функции в ее особых точках.

Ответ: , .

Задача 6. Пусть функция , имеющая в точке простой полюс, в окрестности точки представляется как частное двух аналитических функций: , где , , но (то есть в точке функция имеет простой нуль). Покажите, что формула (3) в этом случае принимает вид

. (6)

Указание. Воспользоваться определением производной функции в точке : .

Пример 5. Вычислить .

Решение. Для функции точка является простым полюсом (простым нулем для знаменателя ).

Полагая в формуле (6) , , получаем

.☻

Интеграл от аналитической функции по замкнутому контуру , содержащему внутри изолированные особые точки данной функции, помогает вычислить

Основная теорема о вычетах. Пусть является аналитической в области , за исключением конечного числа особых точек … . Тогда

. (7)

Пример 6. Вычислить интеграл .

Решение. В круге подынтегральная функция имеет простые полюсы в точках . По формуле (7) запишем:

С помощью формулы (6) вычислим каждое слагаемое:

;

Сумма всех вычетов равна .

Значит, . ☻

Задача 6. Показать, что .

Определение. Вычетом функции в бесконечно удаленной точке называется число, равное значению интеграла , взятому в отрицательном направлении (по часовой стрелке) вдоль границы окрестности точки .

Задача 7. Показать, что в бесконечно удаленной точке вычет функции равен взятому с противоположным знаком коэффициенту при минус первой степени в лорановском разложении этой функции в окрестности точки :

Если функция в бесконечно удаленной точке имеет устранимую особенность, то не обязательно равен нулю.

Пример 7. Найти вычет функции в точке .

Решение. Так как , то заданная функция в бесконечно удаленной точке имеет устранимую особенность. Представим функцию в виде , здесь . Значит, . ☻

Задача 8. Показать, что .

Вычет функции в бесконечно удаленной точке помогает также находить

Теорема. Пусть – аналитическая и однозначная в полной комплексной плоскости функция, за исключением конечного числа изолированных особых точек ,..., и точки . Тогда сумма вычетов функции относительно всех этих точек равна нулю:

. (8)

Пример 8. Найти .

Решение. Сумма вычетов функции в особых точках найдена в примере 6 и равна . В силу формулы (8) запишем

Значит, . Отсюда следует, что

. ☻

Пример 9. Пользуясь соотношением (8), вычислить интеграл .

Решение. Подынтегральная функция в круге имеет десять изолированных особых точек , расположенных на единичной окружности . В силу соотношения (8) и основной теоремы о вычетах имеем