Формулы Байеса

Рассмотрим испытание, проходящее в два этапа. Пусть {Н₁,Н₂,…,Н_n} - гипотезы, т.е. возможные результаты первого этапа. А –случайное событие, которое может произойти или не произойти в результате всего испытания в целом. Формула полной вероятности позволяет найти вероятность события А.

Предположим теперь, что испытание проведено и стало известно, что событие А произошло. В этом случае вероятности гипотез по сравнению с первоначальными могут измениться.

Формула Байеса позволяет точно вычислить эти условные вероятности. Она выводится из формулы 4) для условной вероятности и в общем случае имеет следующий вид:

(k=1, 2, …, n).

Задача. Пусть в тире имеются два ружья, вероятность попадания в цель из первого равна 0.9, а из второго – 0.1. Наугад выбирают ружье и стреляют из него в цель. Событие А состоит в том, что цель будет поражена. Предположим, что стало известно, что событие А произошло.

1)Что более вероятно: выстрел произведен из первого или второго ружья.

2)Найти вероятность того, что выстрел произведен из первого ружья.

Решение. 1)Так как ружья выбираются наугад, то вероятности гипотез (выбор первого или второго ружья) одинаковы: р(Н₁)=р(Н₂)=1/2. Так как стало известно, что событие А произошло, то, очевидно, что теперь более вероятна гипотеза Н₁, т.е. стреляли из первого ружья: р_А(Н₁)>р_А(Н₂).

2) Используя формулу Байеса, уточняем результат полученный в 1):

т.е. при условии попадания в цель вероятность того, что стреляли из первого ружья равна 0.9, а из второго – 0.1.

Рассмотрим еще один пример.

Задача. Имеются три партии деталей: в первой партии – 10% бракованных деталей, во второй – 20% и в третьей – 30%. Наугад выбирают одну из партий и из нее берут одну деталь, которая оказывается бракованной. Какова вероятность того, что деталь взята из первой партии?

Решение: Рассмотрим событие А, состоявшее в том, что выбранная деталь – бракованная, и три гипотезы:

Н₁ – деталь взята из первой партии;

Н₂ – деталь взята из второй партии;

Н₃ – деталь взята из третьей партии.

По условию задачи

р(Н₁)=р(Н₂)=р(Н₃)=1/3,

Искомую вероятность находим по формуле Байеса:

Определение случайной величины. Дискретные и непрерывные случайные величины. Функция распределения и ее свойства, плотность вероятностей непрерывной случайной величины.Биномиальное распределение. Распределение Пуассона.

Со многими испытаниями могут быть связаны не только какие-то случайные события, но также и случайные числа. Это может быть число очков на выпавших кубиках, число бракованных деталей в наугад выбранной партии, выигрыш (денежный) в некой игре и т.п. В связи с этим в теории вероятностей вводится понятие случайной величины.

Случайной величиной называется величина Х, которая в результате испытания может принимать единственное значение х, из заданных, наперед неизвестное.

Пусть {х₁, х₂, …, х_n} – конечный набор чисел (чаще всего в порядке возрастания). Дискретной случайной величиной (сокращенно, ДСВ) называется величина Х, которая в результате испытания может принимать одно из значений х_i, наперед неизвестное.

Законом распределения ДСВ Х называется таблица,

Х	х₁	х₂	х₃	….	х_n
Р	р₁	р₂	р₃	….	р_n

в верхней строке которой перечислены все возможные значения, которые может принимать Х, а в нижней – соответствующие им вероятности р_к=Р(Х=х_к) – вероятность того, что в результате испытания Х примет значение х_к. Заметим, что для закона распределения ДСВ Х всегда должно выполняться равенство:

Отметим также, что иногда приходится рассматривать ДСВ Х, возможные значения которой образуют бесконечное счетное множество

{х₁, х₂, …, х_n,…}, например, множество натуральных чисел.

Простейшим из законов распределения является равномерное распределение. Такой закон распределения характеризуется тем, что все вероятности р_к равны между собой, следовательно, он имеет вид: