2015-03-27
1198
Рассмотрим схему Бернулли (n – число всех испытаний; р – вероятность успеха в одном испытании; q=1-р – вероятность неудачи). Пусть случайная величина Х – это число успехов во всей серии. Для любого 0£k£n вероятность того, что Х в результате серии испытаний примет значение k вычисляется по формуле Бернулли:
P(X=k)=Pn(k)=Cknpkqn–k
Полученный таким образом закон распределения и называется биномиальным:
| Х | 0 | 1 | …. | k | …. | n |
| Р | Pn(0) | Pn(1) | …. | Pn(k) | …. | Pn(n) |
Распределение Пуассона (Симеон Дени Пуассон (1781 – 1840) – французский математик)
Так называется закон распределения вида:
| Х | 0 | 1 | 2 | …. | k | …. |
| Р |  -l
| le-l | 
| 
|
Можно показать, что распределение Пуассона является предельным случаем биномиального распределения, когда n – велико, р – мало, а l=n×p.
Пусть производится п независимых испытаний, в которых появление события А имеет вероятность р и число испытаний п достаточно велико (n >50), а вероятность появления события А в каждом испытании мала (p £0,1).
|
|
|
Сделаем важное допущение – произведение пр сохраняет постоянное значение:
l=n×p.
T.е, среднее число появления события в различных сериях из n испытаний остается неизменным.
По формуле Бернулли получаем:
,
подставим p = l/n:
Найдем предел этой вероятности при п ®¥.
Получаем формулу распределения Пуассона:
.
Формула Пуассона дает по меньшей мере одну верную значащую цифру при n >50, p £0,1, 
<10.
Если известны числа l и k, то значения вероятности можно найти по таблицам распределения Пуассона.
