2015-03-27
213
Если случайное событие имеет только два исхода, причем вероятность реализации p одного из исходов в единичном испытании постоянна, то распределение вероятностей называется биномиальным. Условие нормировки в этом случае отражает альтернативный характер исхода: p + q = 1, где q – вероятность того, что событие не произошло. Биномиальное распределение отвечает на вопрос: какова вероятность реализации m определенных исходов в n независимых испытаниях при известном значении p? В статистике этот вопрос часто формулируется так: Какова вероятность обнаружить у m объектов (частиц) из n определенный признак?
Биномиальное распределение справедливо для описания случайных событий, имеющих две возможности исхода, в различных областях повседневной жизни, медицине, науке:
производстве и имеет следующее математическое выражение:
, (3.1)
где 
– число способов, которыми можно выбрать m различных предметов из n различных предметов (число сочетаний).
Для расчета среднего значения m и дисперсии необходимо вычислить <mk>, где k = 1, 2 согласно (2.3). В силу трудоемкости вычислений подобного рода, процедура суммирования заменяется эквивалентной по результату, но более простой по форме дифференциальной процедурой:
|
|
|
. (3.2)
Существуют два важнейших предельных случая биномиального распределения.
Распределение Гаусса (другое его название - нормальное распределение). При 
и p = const, распределение плотности вероятности имеет вид
. (3.3)
В этом предельном случае m является непрерывно изменяющейся величиной (ámñ >>1). Примерами нормального распределения являются: закон ошибок в метрологии, распределение попаданий в мишень (прицельная стрельба), распределение молекул по компонентам скорости в состоянии теплового равновесия.
Распределение Пуассона (закон редких событий).
При 
и np = const (p<<1)
(3.4)
Распределение Пуассона описывает вероятности редких событий, когда 
невелико по сравнению с 1. Такими событиями могут быть технические катастрофы, биологические мутации, молекулярное истечение - эффузия, вылет частиц при радиоактивном распаде ядра. Расчет флуктуаций в этом предельном случае упрощается:
. (3.5)
