Закон больших чисел. Предельные теоремы

Если возможные значения дискретной случайной величины X неотрицательны и существует ее математическое ожидание M(X)= а, то для любого числа A>0 справедливо неравенство

(9.1)

В этом случае выполняется неравенство (9.2)

Неравенства (9.1) и (9.2) называют неравенствами Маркова

Если X – случайная величина, математическое ожидание которой M(X)= а,

а дисперсия D(X) конечна, то для любого числа e> 0 выполняются неравенство:

(9.3)

(9.4)

Теорема Чебышева. Если случайные величины X₁, X₂,…X_n независимы, имеют математическое ожидание M(Xi) и дисперсии D(Xi), ограниченные одним и тем же числом С, то для любого числа e > 0 выполняется неравенство

. (9.5)

Отсюда следует, что

. (9.6)

Если все случайные величины X_i (i=1,2,3,…n) имеют одно и то же математическое ожидание M(X_i) =а (i=1,2,…,n), то неравенство (9.5) принимает вид

(9.7)

переходя к пределу при n → ∞, отсюда получают

(9.8)

Теорема Бернулли. Если в каждом из независимых испытаний вероятность p появления события A постоянна, то вероятность того что отклонение частоты т/п от вероятности p по модулю не превзойдёт числа e > 0, больше чем разность 1-pq/ n e ², т.е

. (9.9)

Отсюда следует, что

. (9.10)

Теорема Чебышева. Если в каждом из независимых испытаний вероятность p появления события A постоянна, то вероятность того что отклонение частоты т/п от вероятности p по модулю не превзойдёт числа e > 0, больше чем разность 1-pq/ n e ², т.е.

. (9.11)

Пример 1. Для случайной величины Х известна дисперсия D(X)=0,01 и неравенство . Найти значение e.

Решение. Согласно формуле (9.4) получаем . По условию .

Из этих двух равенств следует, что

Ответ: e³0,5.

Пример 2. Найти вероятность того, что частота появления шестерки в 10000 независимых подбрасываниях интегрального кубика отклоняется от вероятности появления шестерки по модулю меньше чем на 0,01.

Решение. Воспользуемся неравенством (9.5). В данном случае п=1000, р=1/6, q=5/6, поэтому

Ответ: 0,86.

Пример 3. При каком числе независимых испытаний вероятность выполнения неравенства превысит 0,96, если вероятность появления события в отдельном испытании р=0,7?

Решение. По условию задачи имеем: e=0,2, р=0,7, поэтому q=0,3; требуется определить п с помощью неравенства (9.5). Условие P>0,96 равносильно неравенству При подстановке значений р=0,7, q=0,3 и e=0,2 в последнее неравенство находим, что Следовательно, требуемое неравенство выполняется при числе независимых испытаний, начиная со 132.