2015-03-08
356
Принимается, что при небольших изменениях порового давления пористость и проницаемость среды, а также плотность жидкости линейно зависят от 
, т. е.
| (2.31) |
где 
, 
и 
– соответственно пористость, проницаемость и плотность при начальном давлении 
; 
и 
– соответственно модули объемной упругости скелета и жидкости. Кроме того, принимаем, что 
.
К уравнениям (2.30 и (2.31) необходимо присоединить еще уравнение неразрывности движения жидкости (2.22), которое в силу неполного, равного 
, заполнения элементарного объема 
сплошной среды принимает вид
 .
| (2.32) |
Уравнения (2.30) – (2.32) образуют, таким образом, замкнутую систему для определения функций 
, 
, 
и 
. Но если подставить уравнения (2.30) и (2.31) в (2.32) и учесть, что в реальных ситуациях величины 
и 
много меньше единицы, то отбросив малые величины высших порядков, получим одно основное
классическое уравнение теории фильтрации:
 ,
| (2.33) |
где 
– коэффициент пьезопроводности среды;
– приведенный модуль объемной упругости среды; 
– оператор Лапласа. Пьезопроводность 
имеет размерность м2/с.
Если 
, то уравнение (2.33) описывает нестационарное поле давления при упругом режиме фильтрации. При 
имеем уравнение Лапласа
 ,
| (2.34) |
которое характеризует неупругий (жесткий) режим фильтрации и, следовательно, стационарное поле давления. Это же уравнение имеет место при 
, т. е. при установившемся режиме фильтрации.
Для однозначного определения поля давления в заданной области 
, ограниченной поверхностью 
, необходимо и достаточно, чтобы решение уравнения (2.33) удовлетворяло начальному условию (при 
)
 при 
| (2.35) |
и при 
граничным условиям:
если на поверхности (или ее части) задано давление 
, то
 при  ,
| (2.36) |
если задана нормальная составляющая скорости фильтрации, то
 ,
| (2.37) |
если поверхность покрыта тонкой слабопроницаемой перемычкой (например, глинистая корка на стенке скважины), то
 ,
| (2.38) |
где 
– характерный линейный размер; 
– коэффициент поверхностного фильтрационного сопротивления, получивший название параметр «скин-эффекта».
Ясно, что для уравнения (2.34) начальное условие (2.35) смысла не имеет, а граничные условия вида (2.36) – (2.38) сохраняются.
2. Модель ламинарной фильтрации ньютоновских однородных жидкостей д ля анизотропной среды.
