2015-03-08
386
(3.94)
соответственно при упругой деформации изотропного тела [см. формулу (2.74)]; при упругопластической деформации изотропного тела [см. формулу (2.77)]; при ползучести среды [см. формулу (2.91)]. Возможны уравнения другого вида, связывающие компоненты 
и 
, в зависимости от рассматриваемого состояния тела и действующих факторов (см. разд. 2.67).
Шести уравнениям совместимости (неразрывности) деформаций Сен-Венана [см. формулу (1.24)]
(3.95)
и т.д. (остальные уравнения получаются круговой заменой индексов) при рассмотрении кратковременного напряженно-деформированного состояния тела. При изучении ползучести тела используются шесть аналогичных уравнений совместимости скоростей деформаций 
.
В уравнениях (3.93) – (3.95) использована декартова система координат 
и следующие введенные ранее обозначения: 
- проекции массовых сил и ускорения; 
- плотность тела; 
- модуль сдвига; 
- коэффициент Ламе; 
- модуль объемного сжатия; Е, v – модуль Юнга и коэффициент Пуассона; 
и 
- модули пластичности и ползучести, являющиеся соответственно функциями интенсивности деформации сдвига Г и интенсивности скорости деформации сдвига Н (см. раздел 1.3); 
- компоненты девиатора деформации; 
- объемная деформация; 
- компоненты девиатора скорости деформации; 
- символ Кронекера:
|
|
|
где 
- скорость объемной деформации; 
и - компоненты тензоров деформаций и скоростей деформаций; связанные соответственно с компонентами перемещения 
и скорости 
соотношениями Коши:
(3.96)
При переходе к криволинейной системе координат вид всех уравнений, кроме уравнений (3.94), изменится. В разд. лекции 1 приведены формулы перехода к цилиндрической системе координат.
Для однозначного определения напряженно-деформированного состояния тела к уравнениям (3.93) – (3.95) необходимо присоединить начальное и граничные условия. Различают три основные граничные задачи механики деформируемого твердого тела.
Если на поверхности S, ограничивающей область D тела, задан вектор напряжения 
, то граничные условия записываются в виде (см. разд. лекции 1)
(3.97)
где 
- нормаль к поверхности S; 
- проекции вектора на оси выбранной системы координат; М – точка поверхности; t – время.
В этом случае говорят о первой основной граничной задаче.
Если на поверхности S заданы условия для компонент вектора перемещения 
(или скорости 
)
(3.98)
то говорят о второй граничной задаче, где 
- известные функции точек поверхности и времени.
В том случае, когда на одной части поверхности S задано условие вида (3.97), а на другой – вида (3.98), говорят о третьей основной граничной задаче, иногда ее называют смешанной граничной задачей.
Отличительная особенность первой основной граничной задачи состоит в том, что ее решение в зависимости от удобства можно строить в перемещениях (скоростях) или в напряжениях. Вторую и третью граничные задачи можно решать только в перемещениях (скоростях).
|
|
|
Решить задачу в перемещениях – значит представить исходную систему уравнений, граничные и начальные условия через функции 
. Для этого достаточно подставить формулы (3.94) и (3.96) в уравнения (3.93) и граничные условия (3.97). полученная таким образом система трех уравнений и трех граничных условий будет содержать только перемещения . В этом случае надобность в уравнениях (3.95) отпадает. Они могут служить лишь для контроля полученного решения.
Если первая граничная задача решается в напряжениях 
, то эти функции, кроме уравнений (3.93), должны удовлетворять и системе уравнений (3.95), в которой необходимо (или ) выразить через с помощью формул (3.94).
Ясно, что вид и характер исходной системы уравнений зависит от вида соотношений (3.94). С различными частными системами таких уравнений можно познакомиться по справочной литературе, учебникам и монографиям. При решении конкретных задач мы будем получать эти уравнения в упрощенном виде.
Определение напряженно-деформированного состояния тела не может быть самоцелью. Оно лишь предпосылка для оценки прочности, устойчивости, долговечности тела, конструкции или сооружения.
