При этом коэффициент гидравлического сопротивления

где - обобщенный параметр Рейнольдса, — приведенная вязкость жидкости Освальда — Вейля для кольцевого канала.

В предельном случае, когда , уравнение (3.43) не имеет смысла, а из зависимости (3.42) следует элементарная формула для распре­деления скорости в сечении круглой трубы

где

Поэтому основные интегральные характеристики потока жидкости в трубе принимают вид

где — обобщенный параметр Рейнольдса и — приведенная вязкость жидкости для трубы.

4. При турбулентном режиме течения, учитывая соотношения (3.1) и характер распределения профиля скорости [см., например, соотношение (3.41)], найдем по уравнениям Прандтля (2.20) связь напряжения Рейнольдса с усредненной по времени скоростью :

(3.46)

Если исходить из тех же упрощающих предположений Прандтля, что и в области основного турбулентного ядра напряжения , принять равными касательным напряжениям на стенках канала соответственно слева и справа от цилиндрической поверхности r = ωR, то, используя формулу (21) при r = αR и r = R, получим

(3.47)

где

Из сравнения соотношений (3.46) и (3.47) получим уравнение относительно скорости

где - характерная скорость. Интегрируя данное уравнение с учетом условия при и , получим закон распределения скорости в кольцевом канале

(3.48)

где — максимальная скорость потока:

(3.49)

содержит экспериментальные параметры — размеры пристенных слоев у внутренней и внешней стенок канала.

Из равенства (3.49) следует уравнение относительно парамет­ра ω

(3.50)

Для упрощения решения этого трансцендентного уравнения примем, что отношения размеров зон турбулентного ядра и пристенных слоев слева и справа от поверхности равны между собой, т. е.

(3.51)

Тогда из уравнения (3.50) получим

(3.52)

Путем интегрирования профиля скорости (3.48), пренебрегая пристенными слоями и используя равенство (3.52), легко найти среднюю скорость турбулентного потока

(3.53)

Согласно формуле (3.5) коэффициент сопротивления

Отсюда, учитывая формулы (3.49), (3.52) и (3.53), получим

Принимая по аналогии с задачей для гладких стенок: = 0,4; закон сопротивления для кольцевого канала запишем в виде

(3.54)

где - вязкость или приведенная вязкость жидкости.

Рис. 25. Зависимость коэффициента сопротивле­ния от параметра Рейнольдса (закон сопротивле­ния) при турбулентном режиме течения:

1, 2 – соответственно при α = 0,9 и α = 0.

Если α = 0, то а=1 и соотношение (3.54) выражает известный универсальный закон сопротивления Прандтля для гладких труб, который неоднократно был проверен опытами.

При α > 0,3 величина а изменяется в пределах от 0,54 до 0,45. Следовательно, для малых кольцевых зазоров () закон сопротивления (3.54) принимает вид закона сопротивления для щели (3.28), где 2h = R (1 - α).

Из рис. 25 следует вывод, что закон сопротивления при турбулентном режиме течения слабо зависит от α, т. е. от формы канала (круглая труба, кольцевое пространство или щель). В диапазоне чисел Рейнольдса кри­вые на рис. 25 можно аппроксимировать функцией , которую принято называть формулой Блазиуса.

Таблица 2.

S0/R	а
		0,3	0,5	0.7	0,9
0,001	0,016	0,018	0,02	0,023	0,032
0,005	0,025	0,027	0,031	0,037	0,056
0,01	0,03	0,034	0,038	0,047	0,077
0,025	0,041	0,046	0,054	0,069	—
0,05	0,053	0,062	0,073		—

Отсюда непосредственно находят коэффициент сопротивления по высоте элемента шероховатости s₀ стенки канала. Некоторые значения λ, вычисленные по этой формуле, приведены в табл. 2.

Полученные выше решения дают основание сделать следующий практический вывод: при гидравлических расчетах или обра­ботке опытных данных кольцевой канал скважины можно рас­сматривать как щель с параметрами 2h = R (1 - α) и b =π R (1 + α). При этом точность расчета будет зависеть в основном от точности значений реологических параметров жидко­сти и геометрических параметров кольцевого зазора.

Для расчета гидравлических потерь при турбулентном ре­жиме течения жидкости в затрубном пространстве открытой части ствола скважины необходимо воспользоваться формулой Дарси — Вейсбаха, в которой среднестатистическое значение коэффициента λ должно быть установлено по опытным данным в п типовых скважинах.