2015-03-08
1190
Получить аналитическое решение задачи механики деформируемого твердого тела – значит определить прежде всего компоненты вектора перемещения 
, тензоров деформаций 
и напряжения 
в любой точке области D, занятой телом, и в любой момент времени.
В общем случае, как показано ранее, 15 искомых функций должны удовлетворять следующим 15 уравнениям.
Трем уравнениям движения [см. формулу (2.9)]
. (2.98)
Шести уравнениям механического состояния
(2.99)
соответственно при упругой деформации изотропного тела [см. формулу (2.74)]; при упругопластической деформации изотропного тела [см. формулу (2.77)]; при ползучести среды [см. формулу (2.91)]. Возможны уравнения другого вида, связывающие компоненты 
и , в зависимости от рассматриваемого состояния тела и действующих факторов.
Шести уравнениям совместимости (неразрывности) деформаций Сен-Венана [см. формулу (1.24)]
(2.100)
и т.д. (остальные уравнения получаются круговой заменой индексов) при рассмотрении кратковременного напряженно-деформированного состояния тела. При изучении ползучести тела используются шесть аналогичных уравнений совместимости скоростей деформаций 
.
В уравнениях (2.98) – (2.100) использована декартова система координат 
и следующие введенные ранее обозначения: 
- проекции массовых сил и ускорения; 
- плотность тела; 
- модуль сдвига; 
- коэффициент Ламе; 
- модуль объемного сжатия; Е, v – модуль Юнга и коэффициент Пуассона; 
и 
- модули пластичности и ползучести, являющиеся соответственно функциями интенсивности деформации сдвига Г и интенсивности скорости деформации сдвига Н (см. лекцию 1); 
- компоненты девиатора деформации; 
- объемная деформация; 
- компоненты девиатора скорости деформации; 
- символ Кронекера:
где 
- скорость объемной деформации; 
и - компоненты тензоров деформаций и скоростей деформаций; связанные соответственно с компонентами перемещения и скорости 
соотношениями Коши:
(2.101)
При переходе к криволинейной системе координат вид всех уравнений, кроме уравнений (2.99), изменится. В лекции 1 приведены формулы перехода к цилиндрической системе координат.
Для однозначного определения напряженно-деформированного состояния тела к уравнениям (2.98) – (2.100) необходимо присоединить начальное и граничные условия. Различают три основные граничные задачи механики деформируемого твердого тела.
Если на поверхности S, ограничивающей область D тела, задан вектор напряжения 
, то граничные условия записываются в виде (см. лекцию 1)
(2.102)
где 
- нормаль к поверхности S; 
- проекции вектора 
на оси выбранной системы координат; М – точка поверхности; t – время.
В этом случае говорят о первой основной граничной задаче.
Если на поверхности S заданы условия для компонент вектора перемещения 
(или скорости 
)
(2.103)
то говорят о второй граничной задаче, где 
- известные функции точек поверхности и времени.
В том случае, когда на одной части поверхности S задано условие вида (2.102), а на другой – вида (2.103), говорят о третьей основной граничной задаче, иногда ее называют смешанной граничной задачей.
Отличительная особенность первой основной граничной задачи состоит в том, что ее решение в зависимости от удобства можно строить в перемещениях (скоростях) или в напряжениях. Вторую и третью граничные задачи можно решать только в перемещениях (скоростях).
Решить задачу в перемещениях – значит представить исходную систему уравнений, граничные и начальные условия через функции 
. Для этого достаточно подставить формулы (2.99) и (2.101) в уравнения (2.98) и граничные условия (2.102), полученная таким образом система трех уравнений и трех граничных условий будет содержать только перемещения . В этом случае надобность в уравнениях (2.100) отпадает. Они могут служить лишь для контроля полученного решения.
Если первая граничная задача решается в напряжениях 
, то эти функции, кроме уравнений (2.98), должны удовлетворять и системе уравнений (2.100), в которой необходимо (или ) выразить через с помощью формул (2.99).
Ясно, что вид и характер исходной системы уравнений зависит от вида соотношений (2.99). С различными частными системами таких уравнений можно познакомиться по справочной литературе, учебникам и монографиям. При решении конкретных задач мы будем получать эти уравнения в упрощенном виде.
Определение напряженно-деформированного состояния тела не может быть самоцелью. Оно лишь предпосылка для оценки прочности, устойчивости, долговечности тела, конструкции или сооружения.
Лекция 7. Основные задачи механики сплошных сред в бурении
