Расчёт неразветвлённой цепи с помощью векторных диаграмм

В задании на курсовую работу сопротивления даны в комплексной форме. Так как расчёт цепи нужно выполнить с помощью векторных диаграмм, определяем соответствующие заданным комплексам активные и реактивные сопротивления: R₁ = 2 Ом, X_C1 = 3 Ом, R₂ = 14 Ом, X_C2 = 12 Ом, X_L3 = 18 Ом.

Из заданных приёмников составляем неразветвлённую цепь (рис 1.1).

Определяем активные и реактивные сопротивления всей цепи:

R = R₁ + R₂ = 2 + 14 = 16 Ом;

X = -X_C1 – X_C2 + X_L3 = -3 – 12 + 18 = 3 Ом.

Полное сопротивление всей цепи тогда определяем из выражения:

Z = = = 16,3 Ом.

Ток в цепи будет общим для всех приёмников и определится по закону Ома:

I = U / Z = 65 / 16,3 = 3,99 A.

Угол сдвига фаз между напряжением и током определяется по синусу

Sin j = X / Zили тангенсу Tg j = X / R

так как эти функции являются нечётными и определяют знак угла “ плюс ” или “ минус ”.

Рис.1.1

Положительный знак угла указывает на активно-индуктивный (или чисто индуктивный) характер нагрузки, а отрицательный знак угла указывает на активно-ёмкостный (или чисто ёмкостный) характер. Таким образом, угол сдвига фаз между напряжением и током определим по синусу

Sin j = X / Z = 3 / 16 = 0,184; j = 10,6°; Cos j = 0,983.

Напряжения на участках цепи определяем также из формулы закона Ома:

U_R1 = I * R₁ = 3,99 * 2 = 7,98 B;

U_C1 = I * X_C1 = 3,99 * 3 = 12 B;

U_R2 = I * R₂ = 3,99 * 14 = 55,9 B;

U_C2 = I * X_C2 = 3,99 * 12 = 47,9 B;

U_L3 = I * X_L3 = 3,99 * 18 = 71,8 B.

Определяем активные и реактивные мощности участков цепи:

P₁ = I² * R₁ = 3,99² * 2 = 31,8 Вт;

P₂ = I² * R₂ = 3,99² * 14 = 223 Вт;

Q_C1 = I² * X_C1 = 3,99² * 3 = 47,8 вар;

Q_C2 = I² * X_C2 = 3,99² * 12 = 191 вар;

Q_L3 = I² * X_L3 = 3,99² * 18 = 287 вар.

Активная, реактивная и полная мощности всей цепи соответственно будут равны:

P = P₁ + P₂ = 31,8 + 223 = 254,8 Вт;

Q = -Q_C1 – Q_C2 + Q_L3 = -47,8 – 191 + 287 = 48,2 вар;

S = = = 259 B*A.

Полную, активную и реактивную мощности всей цепи можно определить также по другим формулам:

S = U * I = 65 * 3,99 = 259 В*А;

Р = S * Cos j = 259 * 0,983 = 254,8 Вт;

Q = S * Sin j= 259 * 0,184 = 47,9 вар.

Эти два способа определения мощностей могут быть взаимоповерочными и при сходимости результатов указывать на правильность произведённых расчётов.

Определяем ёмкости и индуктивность участков. Угловая частотаω = 2 πf = 2 * 3,14 * 50 = 314 с ^–1.

L₃ = X_l3/w = 18/314 = 0,0573 Гн;

C₁ = 1/wXc₁=1/(314*3)= 0,00106 Ф = 1060 мкФ;

C₂ = 1/wXc₂=1/(314*12)= 0,000265 Ф = 265 мкФ.

Для построения векторной диаграммы задаёмся масштабами тока и напряжения, которые будут соответственно равны M_I = 0,5 A/см и M_U = 10 B/см.

Построение топографической векторной диаграммы начинаем с вектора тока, который откладываем вдоль положительной горизонтальной оси координат. Векторы напряжений на участках строятся в порядке обтекания их током с учётом того, что векторы напряжений на активных элементах _R1 и _R2 совпадают по фазе с током и проводятся параллельно вектору тока; вектор напряжения на индуктивности _L3 опережает ток по фазе на угол 90⁰ и поэтому откладывается на чертеже вверх по отношению к току; векторы напряжений на ёмкостях _C1 и _С2 отстают от тока по фазе на угол 90⁰и откладываются на чертеже вниз по отношению к току.

Рис. 1.2

Вектор напряжения между зажимами цепи проводится с начала вектора тока в конец вектора _L3. На векторной диаграмме отмечаем треугольник напряжений ОАВ, из которого активная составляющая напряжения

U_a = U_R1 + U_R2 = 7,95 + 55,9 = 63,88 B;

и реактивная составляющая напряжения

U_p = -U_C1 – U_C2 + U_L3 = -12 – 47,9 + 71,8 = 11,9 B.

Таким образом, напряжение между зажимами цепи равно

U = = = 65 B.

Топографическая векторная диаграмма построена на рис 1.2