Расчёт сложных цепей переменного тока символическим методом

3.1 Комплексные числа

Для расчёта электрических цепей переменного тока с применением комплексных чисел необходимо знать формы их выражения. Алгебраическая форма имеет вид:

А = а + jb (3.1)

где а – вещественная часть, b– мнимая часть,j = – мнимая единица.

Комплексное число можно показать на комплексной плоскости как вектор, конец которого имеет координаты а и b (рисунок 3.1). По горизонтальной оси откладываются вещественные числа, а по вертикальной – мнимые.

Рисунок 3.1

Длина отрезка ОМ в определённом масштабе определяет абсолютное значение или модуль комплексного числа:

A =

а) б) в)

Рисунок 3.2

Формула для определения угла α зависит от квадранта, в котором находится вектор комплексного числа. Угол α откладывается в положительном направлении против часовой стрелки, а в отрицательном направле­нии - по часовой стрелке от вещественной положительной оси. Это можно показать на рис. 3.2 (а, б и в).

Поскольку при расчёте угла α учащиеся зачастую допускают ошибки, формулы для его определения можно свести в таблицу 3.1. в которой так­же указываются знаки вещественной и мнимой частей в зависимости от квад­ранта, в котором находится заданный комплекс.

Если в формулу (3.1) подставить выражения a = A * Cos aи b = A * Sina, то получаем тригонометрическую форму выражения комплексного числа:

Таблица 3.1

№№ квадрантов	Знаки вещественной и мнимой частей	Формулы для определения угла
a	b
I	+	+	arc tg b/a
II	–	+	180° + arc tg b/a
III	–	–	180° + arc tg b/a
IV	+	–	arc tg b/a

A = A * Cos α + jA * Sin α = A (Cos α + j Sin α).

В математике доказывается, что Cos α + j Sin α = e^jα.

Тогда комплексное число можно выразить в показательной форме:

A = A * e^jα.

Таким образом, комплексное число можно представить в виде:

A =a + jb= A (Cos α + j Sin α)= A * e^jα. (3.2)

Комплексное число A =a – jb = A (Cos α – j Sin α) = A * e^jα называется сопряжённым. Действия с комплексными числами выполняются так же, как действия с алгебраическими выражениями. Наиболее удобными для расчётов в комплексной форме являются микрокалькуляторы: SR-135 "CITIZEN"; SC-503 "CEDAR"; SC-105 "SHARP" и другие, подобные им по содержанию расширенной клавиатуры, имеющие специальный ре­жим работы с комплексными числами, включаемый клавишами <Shift> или <2nd> + <CPLX>.

Действия с комплексными числами на этих калькуляторах выполняются в алгебраической форме. Однако они позволяют переводить комплекс из ал­гебраической формы в показательную и наоборот.

Например, переведём комплекс А = 3 – j4 в показательную форму, для этого используем тест: <Shift>, <CPLX>, <3>, <а>, <4>, <+/->, <b>, <Shift>, <a> (получаем модуль А=5), <b> (получаем угол α = –53,13°), то есть A = 3 – j4 = 5 * e^-j53,13.

Для обратного перевода из показательной формы в алгебраическую применяется тест: <5>, <a>, <53,13>, <+/->, <b>, <Shift>, <a>,– (получаем вещественную часть а = 3), <b>,– (получаем мнимую часть b =–4). При этом клавиша <DRG> должна быть в по­ложении <DEG>, которое индицируется на табло калькулятора.

Расчёты можно выполнять и на отечественных программируемых микрокалькуляторах типа МК-54, МК-56 и др.

Программ для расчёта с помощью комплексных чисел много. Приводим одну из наиболее удобных.

Арифметические операции (сложение – код 0, умножение – код 1, деление –код 2) над парами комплексных чисел Z ₁ = a₁ + jb₁ и Z ₂ = а₂ + jb₂ выполняются в следующем порядке, ввод: a₁, b₁, a₂, b₂ – в регистр Х, код операции – в регистр Х, результат:

Z = а + jb: a – Р4 = PX. b – Р5 = PY.

Вводится программа последовательным нажатием клавиш <F><ПРГ> и да­лее набирается содержание программы по строчкам. После ввода программы нужно нажать клавиши <F> <АВТ> <B/O>

Контрольный пример:

Вычислить Z = ((5 – j3) * (3 + j2)) / ((5 + j3) * (2 – j4)) + (0,5 + 1). Вводим <5>, <С/П>, <->, <3>, <С/П>, <3>, <С/П>, <2>, <С/П> (на индикаторе высвечива­ется <0>), <1> (код умножения), <С/П>.

Содержание программы

Х-П 4	С/П	Х-П 5	С/П	Х-П 2	С/П	Х-П 3		С/П	F Х≠0
		–	F Х≠0		П-Х 2	F X2	П-Х 3	F X2	+
Х-П 8	П-Х 2	П-Х 8	+	Х-П 2	П-Х 3	/–/	П-Х 8	+	Х-П 3
П-Х 3	П-Х 5	Х	Х-П 0	П-Х 4	П-Х 3	Х	Х-П 1	П-Х 2	П-Х 5
Х	П-Х 1	+	Х-П 5	П-Х 2	П-Х 4	Х	П-Х 0	–	Х-П 4
БП		П-Х 5	П-Х 3	+	Х-П 5	П-Х 4	П-Х 2	+	Х-П 4
БП

После получения результата вводим <5>, <С/П>, <3>, <С/П>, (на индикаторе высвечивается <0>). <2> (код деления), <С/П>. После получения результата вводим <2>, <С/П>, <–>, <4>, <С/П>, (на индикаторе выс­вечивается <0>), <2> (код деления), <С/П>. После получения результата вводим: <0,5>, <С/П>, <1>, <С/П>, (на индикаторе высвечивается <0>). <0> (код сложения), <С/П>:

Получаем: Z = PX + j PY = 1,1388235 + j1,4647059.

Каждое новое вычисление нужно начинать с нажатия клавиши <В/О>.

3.2 Характеристики и параметры цепей переменного тока в комплексной форме.

Так как теоретический материал по данной теме рассмотрен в учеб­никах, напомним только основные формулы.

Ток в комплексной форме:

I = I * e^jy

где φ - начальная фаза, I - действующее значение тока.

Напряжение в комплексной форме:

U = U * e^jy

Комплексное полное сопротивление:

Z = Z * e^jφ = Z *(Cos φ j Sin φ) = R jX.

где знак "плюс" берётся для индуктивной нагрузки, а знак "минус" - для емкостной.

Комплексная полная проводимость:

Y = Y * e^jφ = Y *(Cos φ j Sin φ) = G jB.

где знак "плюс" берётся при ёмкостной нагрузке, а знак "минус" – при индуктивной.

Комплексная полная мощность:

_*

S = U * I = S * e ^jφ = S *(Cos φ j Sin φ) = P jQ.

Где знак «плюс» берётся при индуктивной нагрузке, а знак «минус» – при ёмкостной.

Комплексную мощность приёмников можно определить и по более простой формуле: _{* *}

S = U * I = I * Z * I

а так как произведение сопряжённых комплексов равно квадрату модуля, то есть _*

I * I = I²,

мы получим формулу для определения комплексной мощности приёмников:

S = I² * Z

3.3 Расчёт сложных цепей переменного тока символическим методом

3.3.1 Метод узловых и контурных уравнений

Составляем из заданных электроприёмников цепь с двумя узлами, как это показано на рисунке 3.3. Комплексная схема замещения такой цепи показана на рисунке 3.4.

Рис. 3.3 Рис. 3.4

Сущность метода состоит в составлении системы уравнений по пер­вому и второму законам Кирхгофа. Расчёт производим в следующем порядке.

По первому закону составляем (n – 1) независимых уравнений, где n – количество узлов в схеме. Выбираем узел А.. По второму закону нам остаётся составить два уравнения, так как число уравнений в системе должно быть равно количеству неизвестных токов, а их три. Направления токов в ветвях выбираются произвольно. Направления обхода контуров принимаем (условно) по часовой стрелке. Таким образом, система уравнений в комплексной форме включает в себя одно уравнение, составленное по первому закону Кирхгофа и два уравнения, составленные по второму закону:

I ₁ + I ₂ – I ₃ = 0;

I ₁ Z ₁ – I ₂ Z ₂ = E ₁ – E _2;

I ₂ Z ₂ + I ₃ Z ₃ = E _2.

Подставляем заданные комплексы известных величин:

I ₁ + I ₂ – I ₃ = 0 (1);

I ₁ * (2 – j3) – I ₂ * (14 – j12) = 100 – 65 (2);

I ₂ * (14 – j12) + I ₃ * j18 = 65 (3).

Данную систему легче решить с помощью простых подстановок: из (2) определяем I ₁, из (3) определяем I ₃:

I ₁ + I ₂ – I ₃ = 0;

I ₁ = (35+ I ₂*(14-j12))/(2-j3) = 5,38 + j8,08+ I ₂*(4,92+j1,38) (4);

I ₃ = (65- I ₂*(14-j12))/j18 = –j3.61 – I ₂*(–0,667 – j0,778) (5).

Подставляем (4) и (5) в (1) и получим:

5,38 + j8,08 + I ₂*(4,92 + j1,38) + I ₂ + j3,61 + I ₂* (0,667 – j0,778) = 0;

5,38 + j8,08 + j3,61 = I ₂ * (–4,92 – j1,38 – 1 + 0,667 + j0,0778);

5,38 +j11,68 = I ₂ * (–5,253 – j0,602), отсюда

I ₂ =(5.38+j11.68)/(-5.253-j0.602) = –1,26 – j2,08 = 2,438e ^{- j121,21} A;

I ₁ = 5,38 + j8,08 + (–1,26 – j2,08) * (4,92 + j1,38) = 2,05 – j3,89 = =4,4 * A.

I ₃ = –3,61 – (–1,26 – j2,08)*(–0,667 – j0,778) = 0,778 – j5,97 =

=6.02 * A.

Составляем уравнение баланса мощностей в заданной электрической цепи. Определяем комплексные мощности источников:

S _E1 = E ₁* = 100 * (2,05 + j3,89) = 205 + j389 = 440 * *В*A.;

S _E2 = E ₂* = 65 * (–1,26 + j2,08) = –81,9 + j135 = 158 * B*A.

Определяем комплексные мощности приёмников электрической энергии:

S ₁ = I₁² * Z ₁ = 4,4² * (2 – j3) = 38,7 – j58,1 B*A;

S ₂ = I₂² * Z ₂ = 2,43² * (14 – j12) = 82,7 – j70,8 B*A;

S ₃ = I₃² * Z ₃ = 6,02² * (j18) = j652 B*A.

Уравнение баланса комплексных мощностей!

S _Е1 + S _E2 = S ₁ + S ₂ + S ₃;

205 + j389 – 81,9 + j135 = 38,7 – j58,1 + 82,7 – j70,8 + j652;

123,1 + j524 = 121,4 + j523, или

538,3 * = 536,9 * .

Относительная погрешность в балансе полных мощностей составит:

Y_S = (538.3-536.9) * 100%/538.3 = 0,28% < 2%.

Угловая погрешность также незначительна.

Для построения векторной диаграммы задаёмся масштабами токов M_I = 1 А/см и э.д.с. M_E = 10 В/см.

Векторная диаграмма в комплексной плоскости построена на рисунке 3.5.

Рисунок 3.5

3.3.2 Метод контурных токов

Намечаем в независимых контурах заданной цепи, как показано на рисунке 3.4, контурные токи I _K1 и I _K2 – некоторые расчётные комплексные величины, которые одинаковы для всех ветвей выбранных контуров. Направления контурных токов принимаются произвольно. Для определения контурных токов составляем два уравнения по второму закону Кирхгофа:

I _K1 * (Z ₁ + Z ₂) – I _K2 Z ₂ = E ₁ – E ₂;

- I _K1 * Z ₂ + I _K2 * (Z ₂ + Z ₃) = E ₂.

Подставляем данные в систему:

I _K1 * (2 – j3 + 14 – j12) – I _K2 * (14 – j12) = 100 – 65;

- I _K1 * (14 – j12) + I _K2 * (14 – j12 + j18) = 65.

I _K1 * (16 – j15) – I _K2 * (14 – j12) = 35;

- I _K1 * (14 – j12) + I _K2 * (14 + j6) = 65.

Решаем систему с помощью определителей. Определитель системы:

Δ = = (16 – j15) * (14 + j6) – (–14 + j12)² = (314 – j114) – (52 – j336) = 262 + j222;

Частные определители:

Δ ₁ = = 35 * (14 + j6) – 65*(–14 + j12) = (490 + j210) –

– (–910 + j780) = 1400 – j570;

Δ ₂ = = (16 – j15) * 65 – (–14 + j12) * 35 = (1040 – j975) –

– (–490 + j420) = 1530 – j1395.

Определяем контурные токи:

I _K1 = = = 2,04 – j3,9 A;

I _K2 = = = 0,773 – j5,98 A.

Действительные токи в ветвях цепи определяем как результат наложения контурных токов:

I ₁ = I _K1 = 2,04 – j3,9 = 4,4 * A;

I₂ = I _K2 – I _K1 = (0,773 – j5,98) – (2,04 – j3,9) = -1,27 – j2,08=2,44 * * A;

I ₃ = I _K2 = 0,773 – j5,98 = 6,03 * A.

Уравнение баланса мощностей составлено при решении данного примера предыдущим методом.

3.3.3 Метод упрощения схем

Для того чтобы показать, как рассчитывать цепь методом упрощения схем, предположим, что в источнике с э.д.с. E ₁ произошло короткое замыкание между зажимами, то есть E ₁ = 0. Электрическая схема цепи и комплексная схема замещения представлены на рисунках 3.6 и 3.7.

Определяем эквивалентные сопротивления участков и всей цепи. Со­противления Z ₁ и Z ₃ соединены параллельно, поэтому их эквивалентное сопротивление

Z _{1 3} = = = 2,83 – j3,22 Ом

Рис. 3.6 Рис. 3.7

Сопротивления Z _{1 3} и Z ₂ соединены последовательно, поэтому эквива­лентное сопротивление всей цепи

Z _Э = Z _{1 3} + Z ₂ = 2,83 – j3,22 + 14 – j12 = 16,8 – j15,2 Ом.

Определяем ток в активной ветви:

I ₂ = = = 2,13 + j1,92 = 2,87 * A.

Напряжение между узлами А и В:

U _{A B} = I ₂ * Z _{1 3} = (2,13 + j1,92) * (2,83 – j3,22) = 12,2 – j1,41 B.

Токи в пассивных ветвях цепи:

I ₁ = = = 2,2 + j2,6 = 3,41 * A.

I ₃ = = = –0,0783 – j0,678 = 0,682 * A.

Уравнение баланса мощностей и векторная диаграмма выполняются аналогично примеру 3.3.1.