Расчёт разветвлённой цепи с помощью векторных диаграмм

Присоединяем заданные приёмники параллельно к источнику напряжения.

Рис.2.1

Это значит, что цепь состоит из трех ветвей, для которых напряжение источника является общим. Схема цепи показана на рисунке 2.1

Расчёт параллельной цепи можно выполнить двумя методами: по активным и реактивным составляющим токов и методом проводимостей.

2.1. Метод активных и реактивных составляющих токов

Этот метод предусматривает использование схемы замещения с последовательным соединением элементов (рис 2.1). В данном случае три параллельные ветви рассматриваются как три отдельные неразветвлённые цепи, подключенные к одному источнику с напряжением U. Поэтому в начале расчёта определяем полные сопротивления ветвей:

Z₁ = = = 3,61 Ом;

Z₂ = = = 18,4 Ом;

Z₃ = X_L₃ = 18 Ом.

Углы сдвига фаз между напряжениями и токами в ветвях определяются также по синусу (или тангенсу):

Sinφ₁ = -X_C₁/ Z₁ = 3 / 3,61 = -0,831; φ₁ = -56,2°; Cosφ₁ = 0,556;

Sinφ₂ = -X_C₂/ Z₂ = -12 / 18 = -0,652; φ₂ = -40,7°; Cosφ₂ = 0,758;

Sinφ₃ = 1; φ₃ = 90°; Cosφ₃ = 0.

Затем можно определять токи в ветвях по закону Ома:

I₁= U / Z₁ = 65 / 3,61 = 18 А.;

I₂ = U / Z₂ = 65 / 18,4 = 3,53 А.;

I₃ = U / Z₃ = 65 / 18 = 3,61 А.

Для определения тока в неразветвлённой части цепи нужно знать активные и реактивные составляющие токов в ветвях и неразветвленной части цепи:

I_a1 = I₁ * Cosφ₁ = 18 * 0,556 = 10 A;

I_p1 = I₁ * Sinφ₁ = 18 * (-0,83) = -14,9 A;

I_a2 = I₂ * Cosφ₂ = 3,53 * 0,758 = 2,68 A;

I_p2 = I₂ * Sinφ₂ = 3,53 * (-0,652) = -2,3 A;

I_p₃ = I₃ = 3,61 A.

Активная и реактивная составляющие тока в неразветвлённой части цепи:

I_a = I_a1 + I_a2 = 10 + 2,68 = 12,68 A;

I_P = I_P1 + I_P2 + I_P3 = –14,9 – 2,3 + 3,61 = -13,59 A.

Полный ток в неразветвлённой части цепи:

I = = = 18,6 A.

Угол сдвига фаз на входе цепи:

Sinφ = I_P / I = –13,59 / 18,6 = –0,7312; φ = -46,98°; Cosφ = 0,6822.

Активные, реактивные и полные мощности ветвей:

P₁ = I₁² * R₁ = 18² * 2 = 648 Вт;

Q_C1 = I₁² * X_C1 = 18² * 3 = 972 вар;

S₁ = U * I₁ = 65 * 18 = 1170 В*А;

P₂ = I₂² * R₂ = 3,53² * 14 = 174 Вт;

Q_C2 = I₂² * X_C2 = 3,53² * 12 = 150 вар;

S₂ = U * I₂ = 65 * 3,53 = 229 В*А;

Q_L₃ = I₃² * X_L₃ = 3,61² * 18 = 235 вар;

S₃ = 235 В*А.

Активные, реактивные и полные мощности всей цепи:

P = P₁ + P₂ = 648 + 174 = 822 Вт;

Q = –Q_C₁ – Q_C₂ + Q_L₃ = –972 – 150 + 235 = –887 вар;

S = = = 1209 В*А, или

S = U * I = 65 * 18,6 = 1209 В*А;

P = S * Cosφ = 1209 * 0,6822 = 825 Вт;

Q = S * Sinφ = 12О9 * (-0,7312) = –887 вар.

Для построения векторной диаграммы задаёмся масштабами напряжений M_U = 5 В/см и токов M_I = 2 А/см. Векторную диаграмму начинаем строить с вектора напряжения, который откладываем вдоль горизонтальной положительной оси. Векторная диаграмма токов строится с учётом того, что активные токи I_a₁ и I_a₂ совпадают по фазе с напряжением. Поэтому их векторы параллельны вектору напряжения; реактивные ёмкостные токи I_p₁ и I_p₂ опережают по фазе напряжение и их векторы строим под углом 90⁰ к вектору напряжения в сторону опережения; реактивный индуктивный ток I_p₃ отстаёт по фазе

Рис. 2.2

от напряжения и его вектор строим под углом 90° к вектору напряжения в сторону отставания. Вектор тока в неразветвлённой части цепи строим с начала построения в конец вектора индуктивного тока. Векторная диаграмма построена на рисунке 2.2.

2.2. Метод проводимостей

Метод проводимостей основан на применении схемы замещения с параллельным соединением элементов (рисунок 2.3).

Расчёт начинают с определения активных, реактивных и полных проводимостей ветвей и всей цепи:

G₁ = R₁ / Z₁² = 2 / 3,61² = 0,153 См;

B_C₁ = X_C₁ / Z₁² = 3 / 3,61² = 0,23 См;

Рис. 2.3

G₂ = R₂ / Z₂² = 14 / 18,4² = 0,0414 См;

Y₁ = 1 / Z_l = 1 / 3,61 = 0,277 См;

В_C₂ = Х_C₂ / Z₂² = 12 / 18,4² = 0,0354 См;

Y₂ = 1 / Z₂ = 1 / 18,4 = 0,0543 См;

B_L₃ = 1 / X_L₃ = 1 / 18 = 0,0556 См;

G = G₁ + G₂ = 0,153 + 0,0414 = 0,1944 См;

B = –B_C₁ – B_C₂ + B_L₃ = -0,23 – 0,0354 + 0,0556 = –0,2098 См;

Y = = = 0,286 См.

Далее определяем активные, индуктивную и емкостные составляющие токов в ветвях заданной цепи:

I_G1 = U * G₁ = 65 * 0,153 = 9,945 A;

I_C1 = U * B_C1 = 65 * 0,23 = 14,95 A;

I_G2 = U * G₂ = 65 * 0,0414 = 2,69 A;

I_C2 = U * B_C2 = 65 * 0,0354 = 2,3 A;

I₁ = U * Y₁ = 65 * 0,277 = 18 A;

I₂ = U * Y₂ = 65 * 0,0543 = 3,53 A;

I₃ = I_L3 = U * B_L3 = 65 * 0,0556 = 3,61 A

Отличие метода проводимостей в том, что мы можем конкретно определить все индуктивные и емкостные составляющие токов в ветвях, а в методе активных и реактивных составляющих мы можем определить только общие реактивные токи с их положительными или отрицательными знаками, указывающими на индуктивный или ёмкостный характер ветви. Если предположить, например, что ветвь 2 задана параметрами R, L и C, а не R и С, как задано, то это различие проследить можно более наглядно. Тогда соотношение между реактивными токами, полученными двумя методами выразилось бы в таком виде: I_P₂ = I_L₂ – I_C₂. В нашем случае эти соотношения имеют вид: Ia₂ = I_G₁; Iа₂ = I_G₂; I_P₁ = –I_C₁; I_P₂ = –I_C₂; I_P₃ = I_L₃.