2015-03-08
3596
Один из наиболее общих законов объективного мира — закон всеобщей связи и зависимости между явлениями. Естественно, что, исследуя явления в самых различных областях, статистика неизбежно сталкивается с зависимостями, как между количественными, так и между качественными показателями, признаками. Ее задача — обнаружить (выявить) такие зависимости и дать их количественную характеристику.
Среди взаимосвязанных признаков одни могут рассматриваться как определенные факторы, влияющие на изменение других, а вторые — как следствие, результат влияния первых. Соответственно, признаки, влияющие на изменение других, называют факторными, а вторые — результативными.
Следует различать два вида связи: функциональную и стохастическую (статистическую), частным случаем которой является корреляционная связь.
Связь между двумя переменными х и у называется функциональной, если определенному значению переменной х строго соответствует одно или несколько значений другой переменной у, и с изменением значения х значение у меняется строго определенно. Например, при простой сдельной оплате труда связь между оплатой труда у и количеством изготовленных изделий х при фиксированной расценке за одну деталь, например 5 руб., легко выразить формулой у = 5х.
|
|
|
Существуют и иного рода связи, встречающиеся в области экономических явлений, где взаимно действуют многие факторы, комбинация которых приводит к вариации значений результативного признака при одинаковом значении факторного признака. Например, при изучении зависимости урожайности определенной культуры от количества выпавших осадков (или внесенных в почву удобрений) последние будут рассматриваться как факторный признак, а урожайность — как результативный. Между ними нет жесткой связи, т.е. при одном и том же количестве выпавших осадков (или внесенных удобрений) урожайность в разных хозяйствах, на разных участках земли будет неодинаковой, так как кроме осадков (или удобрений) на урожайность влияет много других факторов (качество семян, густота посева, уход за посевами, своевременность уборки и др.), комбинация которых вызывает вариацию урожайности.
Там, где взаимодействует множество факторов, в том числе и случайных, выявить зависимости, рассматривая единичный случай, невозможно.
Такие связи можно обнаружить только при массовом наблюдении как статистические закономерности (на основе изучения особенностей распределения, поведения средних и других показателей). Выявленная таким образом связь именуется стохастической или статистической.
Корреляционная связь — понятие более узкое, чем статистическая связь, это частный случай статистической (стохастической) связи. Предметом изучения статистики являются в основном стохастические и корреляционные связи. Корреляционная связь отражает особенность зависимости, при которой определенному значению одного факторного признака может соответствовать несколько значений результативного показателя. На основе этих значений можно определить среднюю величину последнего, соответствующую каждому конкретному значению факторного признака.
|
|
|
Связь, проявляющаяся при большом числе наблюдений в виде определенной зависимости между средним значением результативного признака и признаками-факторами, называется корреляционной. То есть корреляционную связь условно можно рассматривать как функциональную связь средней величины одного признака со значением другого (или других). При этом, если рассматривается связь средней величины результативного показателя у содним признаком-фактором х, корреляция называется парной, а если факторных признаков два и более (х1, х2,..., хт) — множественной.
По характеру изменений х и у в парной корреляции различают прямую и обратную связь.
При прямой зависимости значения обоих признаков изменяются в одном направлении, т.е. с увеличением значений х увеличиваются и значения у, с уменьшением значений факторного признака уменьшаются и значения результативного признака. Например, с ростом годового дохода в семье увеличивается (при прочих равных условиях) сумма сбережений за год или при уменьшении расхода электроэнергии на единицу продукции снижается себестоимость продукции.
При обратной зависимости значения факторного и результативного признаков изменяются в разных направлениях: например, при росте производительности труда себестоимость единицы продукции снижается или при снижении себестоимости продукции прибыль на предприятиях увеличивается и т.п.
Изучение корреляционных связей сводится в основном к решению следующих задач:
• выявление наличия (или отсутствия) корреляционной связи между изучаемыми признаками. Эта задача может быть решена на основе параллельного сопоставления (сравнения) значений х и у у п единиц совокупности;
• измерение тесноты связи между двумя (и более) признаками с помощью специальных коэффициентов. Эта часть исследования именуется корреляционным анализом;
• определение уравнения регрессии — математической модели, в которой среднее значение результативного признака у рассматривается как функция одной или нескольких переменных — факторных признаков. Эта часть исследования именуется регрессионным анализом.
Последовательность рассмотрения перечисленных задач, естественно, может меняться в каждом конкретном исследовании.
Общий термин «корреляционно-регрессионный анализ» подразумевает всестороннее исследование корреляционных связей, в том числе нахождение уравнений регрессии, измерение тесноты и направления связи, а также определение возможных ошибок, как параметров уравнений регрессии, так и показателей тесноты связи.
Связь между количественными признаками измеряется через их вариацию. Измерить зависимость (связь) между двумя коррелируемыми величинами — значит определить, насколько вариация результативного признака обусловлена вариацией факторного признака.
Для измерения тесноты связи между двумя количественными признаками х и у наиболее широко используется линейный коэффициент корреляции r. Он применим лишь в случае линейной зависимости между признаками. Если форма связи между х и у еще не определена, его рассчитывают с целью получить ответ на вопрос, можно ли считать зависимость линейной.
Вид формулы линейного коэффициента корреляции:
|
|
|
Линейный коэффициент корреляции может принимать значения от -1 до +1. Положительный знак характеризует прямую зависимость между х и у. Знак «минус» - будет означать обратную связь. Если коэффициент корреляции равен нулю, то это означает отсутствие линейной зависимости между х и у, если r = 1, то связь функциональная. Следовательно, всякое промежуточное значение от 0 до 1 характеризует степень приближения корреляционной связи между х и у к функциональной.
Таким образом, коэффициент корреляции при линейной зависимости служит как мерой тесноты связи, так и показателем, характеризующим степень приближения корреляционной зависимости между х и у к линейной. Поэтому близость значения к нулю в одних случаях может означать отсутствие связи между х и у, а в других свидетельствовать о том, что зависимость не линейная.
Пример. Имеются данные по восьми фирмам о часовой оплате труда (х) и уровне текучести кадров (у). Необходимо измерить тесноту связи между х и у.
Таблица 4. Расчетная таблица для измерения тесноты связи.
| № | Часовая оплата труда, руб. х | Уровень текучести кадров, % у | Расчетные показатели | ||
| х2 | ху | у2 | |||
| Сумма | |||||
| Средняя величина | 6,5
|
| 47,5
|
|
|
Рассчитаем сначала средние квадратичные отклонения, используемые в формуле коэффициента корреляции:
Линейный коэффициент корреляции равен:
.
Аналогичный результат получим, воспользовавшись другой формулой:
По полученным результатам можно сделать вывод, что между оплатой труда и уровнем текучести кадров существует весьма тесная обратная связь (см. таблицу Чеддока), то есть с увеличением оплаты труда текучесть кадров снижается.
Таблица Чеддока
| h | Связь | h | Связь | |
| Отсутствует | 0,5-0,7 | Заметная | ||
| 0-0,2 | Очень слабая | 0,7-0,9 | Тесная | |
| 0,2-0,3 | Слабая | 0,9-0,99 | Весьма тесная | |
| 0,3-0,5 | Умеренная | Функциональная |
Измерить корреляционную связь между признаками х и у и найти форму этой связи, ее аналитическое выражение (математическую модель) — две важные, неразрывные и дополняющие друг друга задачи корреляционно-регрессионного анализа. Найти уравнение регрессии — значит по эмпирическим (фактическим) данным математически описать изменения взаимно коррелируемых величин.
|
|
|
Уравнение регрессии должно определить, каким будет среднее значение результативного признака у при том или ином значении факторного признака х, если остальные факторы, влияющие на у и не связанные с х, не учитывать, т.е. абстрагироваться от них. Другими словами, уравнение регрессии можно рассматривать как связь средней величины результативного признака у со значениями факторного признака х.
Уравнение регрессии можно также назвать теоретической линией регрессии. Рассчитанные по уравнению регрессии значения результативного признака называются теоретическими, обычно обозначаются 
(читается: «игрек, выравненный по х») и рассматриваются как функция от х, т.е. ух = f(x).
Найти в каждом конкретном случае тип функции, с помощью которой можно наиболее адекватно отразить ту или иную зависимость между признаками х и у, — одна из основных задач регрессионного анализа.
Выбор теоретической линии регрессии часто обусловлен формой эмпирической линии регрессии; теоретическая линия как бы сглаживает изломы эмпирической линии регрессии. Кроме того, необходимо учитывать природу изучаемых показателей и специфику их взаимосвязей.
Для аналитической связи между х и у могут использоваться следующие простые виды уравнений:
а) yх = a0+a1 x (прямая);
б) ух = а0 + а1 х + а2 x2 (парабола 2-го порядка);
в) ух = a0 + a1 * 1/x (гипербола);
г) ух = а0 а1x (показательная функция);
д) yx=a + a1 lgx (логарифмическая функция) и др.
Обычно зависимость, выражаемую уравнением прямой, называют линейной (или прямолинейной),а все остальные — криволинейными.
Выбрав тип функции, по эмпирическим данным определяют параметры уравнения. При этом отыскиваемые параметры должны быть такими, при которых рассчитанные по уравнению теоретические значения результативного признака ух были бы максимально близки к эмпирическим данным.
Существует несколько методов нахождения параметров уравнения регрессии. Наиболее часто используется метод наименьших квадратов (МНК). Его суть заключается в следующем требовании: искомые теоретические значения результативного признака ух должны быть такими, при которых бы обеспечивалась минимальная сумма квадратов их отклонений от эмпирических значений, т.е.
(минимизируются квадраты отклонений, поскольку 
).
Если данное требование соблюдается, легко определить, при каких значениях а0, а1, и т.д. для каждой аналитической кривой эта сумма квадратов отклонений будет минимальной.
Линейная зависимость — наиболее часто используемая форма связи между двумя коррелируемыми признаками, и выражается она при парной корреляции уравнением прямой:
ух = а0 + а1 х.
Гипотеза именно о линейной зависимости между х и у выдвигается в том случае, если результативный и факторный признаки возрастают (или убывают) примерно одинаково.
Параметры а0 и а1, отыскиваются по МНК следующим образом.
Согласно требованию МНК при линейной зависимости в формуле вместо записываем его конкретное выражение: а0 + а1 х. Тогда
Дальнейшее решение сводится к задаче на экстремум, т.е. к определению того, при каком значении а0 и а1, функция двух переменных S может достигнуть минимума. Для этого надо найти частные производные S по а0 и а1, приравнять их к нулю и после элементарных преобразований решить систему двух уравнений с двумя неизвестными.
Найдем частные производные:
Сократив каждое уравнение на (-2), раскрыв скобки и перенеся члены с х в одну сторону, а с у — в другую, получим:
Эта система называется системой нормальных уравнений МНК для линейного уравнения регрессии.
Для решения системы по эмпирическим (наблюдаемым) данным определяется число единиц наблюдения п, и входящие в систему суммы. Подставив вычисленные суммы в систему нормальных уравнений, находятся параметры искомой прямой (линейного уравнения регрессии).
Пример. Рассчитать параметры уравнения регрессии между экспортом х и валовым внутренним продуктом у за последние девять лет по следующим данным:
Таблица 5. Расчетная таблица для нахождения параметров уравнения регрессии.
| № | Экспорт, млн. руб. х | ВВП, млн. руб. у | Расчетные показатели | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| х2 | ху |
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Сумма | 
| 
| 
| 
| 
|
Параметры уравнения регрессии найдем, решив систему нормальных уравнений, предварительно подставив в нее необходимые суммы, рассчитанные в таблице:
Решением данной системы будет: а0 = 309,85, а1 =2,628. Отсюда искомое уравнение регрессии: 
.
Подставляя в данное уравнение последовательно значения х, находим теоретические (выравненные) значения результативного признака у, которые показывают, каким теоретически должен быть объем валового выпуска продукции при данной стоимости основных фондов хi (при прочих равных условиях для всех предприятий).
Параметр а1 в уравнении линейной регрессии называется коэффициентом регрессии, который показывает, на сколько (в абсолютном выражении) изменяется значение результативного признака у при изменении факторного признака х на единицу.
Контрольные вопросы
- Понятие корреляционной связи между признаками.
- Смысл и интерпретация линейного коэффициента корреляции.
- Суть метода наименьших квадратов.
- Линия регрессии, смысл коэффициентов.
