Отрицание Гейтинга

x	Nx
½

Конъюнкция и дизъюнкция определяются обычным способом как минимум и максимум значении аргументов.

Если учитывать лишь значения функций 1 и 0, то из матриц системы Гейтинга вычленяются матрицы двузначной логики.

этой трехзначной логике закон непротиворечия является тавто­логией, но ни закон исключенного третьего, ни его отрицание тав­тологиями не являются. Оба правильных модуса условно-категорического силлогизма, формула (х ® у) ® ( ), правила де Моргана и закон исключенного четвертого (x ) - тавтологии.

Хотя по сравнению с логикой Лукасевича в матрицах отрица­ния и импликации Рейтингом в его системе были произведены небольшие изменения, результаты оказались значительными: в системе Рейтинга являются тавтологиями многие формулы классического двузначного исчисления высказываний.

т -значиая система Поста (Р_т ) ¹

Система американского математика и логика Э. Л. Поста (1897- 1954) является обобщением двузначной логики, ибо при т = 2 в качестве частного случая мы получаем двузначную логику. Значения истинности суть 1, 2,..., т (при т 2), где т - конечное число. Тавтологией является формула, которая всегда принимает выделенное значение, лежащее между 1 и т - 1, вклю­чая их самих.

Пост вводит два вида отрицания (N ¹x и N ²х) соответственно называемые циклическим и симметричным. Они определяются путем матриц и посредством равенств.

Первое отрицание определяется двумя равенствами:

1. [ N ¹x ]=[ x ]+1 при [ х ] т- 1.

2. [ N ¹m ]=1.

Второе отрицание определяется одним равенством:

[ N ² x ]= m -[ x ]+1

Характерной особенностью двух отрицаний Поста является то, что при т = 2 эти отрицания совпадают между собой и с отрицанием двузначной логики, что подтверждает тезис: многозначная система Поста есть обобщение двузначной логики.

______________________________

'См.: PoslE.L. Introduction to a General Theory of Elementary Propositions // American Journal of Mathematics. 1921. Vol. 43. №3.

Этапы развития логики как науки и основные

направления современной символической логики

X	N 1x	N 2 x
		m
		m – 1
		m – 2
		m – 3
.	.	.
.	.	.
.	.	.
m – 1	m
m

Конъюнкция и дизъюнкция определяются соответственно как максимум и минимум значений аргументов. При указанных опре­делениях отрицания, конъюнкции и дизъюнкции обнаруживается, что при значении для х, большем двух, законы непротиворечия и исключенного третьего, а также отрицание этих законов не явля­ются тавтологиями.

Трехзначная система Р₃ Поста имеет следующую указанную в таблицах форму. В этих таблицах приняты обозначения, введенные Постом при m = 3: первое отрицание обозначается через (~ ₃ р), второе отрицание - через ( ₃ р ), конъюнкция через (р^.₃ р),дизъюнкция - через

рv₃ р),импликация - через (р ₃ q), эквиваленты - через (р ₃ q).

р	~3 p	≈3 p
Пояснения	Первое отрицание	Второе отрицание

q \ p

р.3 q

рv3q

р 3 q

р 3 q .

Пояснения

max(p,q)

min(p,q)

( 3 р) v3q

(р 3 q)^3(q p)

Если в качестве значений истинности взяты лишь 1 “истина” и 3 “ложь”, то из таблиц системы Р₃ Поста вычленяются табли­цы для отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации и эквиваленции двузначной логики.

В системе Р₃ тавтология принимает значение 1; закон ис­ключенного третьего не является тавтологией ни для первого, ни для второго отрицания Поста, но является тавтологией закон исключенного четвертого для первого отрицания.

Две бесконечнозначные системы Гетмановой:

“Логика истины” и “Логика лжи”

Бесконечнозначная “Логика истины” как обобщение многозначной системы Поста

Исходя из т -значной системы Э. Л. Поста автор этого учебника А. Д. Гетманова построила бесконечнозначную систему Gx_o. J В ней значениями истинности являются: 1 (“истина”), 0 (“ложь”) и все дробные числа в интервале от 1 до 0, построен­ные в форме (¹/₂)^k и в форме (¹/₂)^k*(2^k - 1), где k -целочислен­ный показатель. Иными словами, значениями истинности являются: 1, ¹/_2, ¹/_4, ³/_4, ¹/_8, ⁷/_8, ¹/_16, ¹⁵/_16,….., (¹/₂)^k, (¹/₂)^k*(2^k-1),….,0.

Операции: отрицание, дизъюнкция, конъюнкция, импликация и эквиваленция в Gx_o - определены следующими равенствами:

1. Отрицание: [ _х0 р ]=1-[ p ]

2. Дизъюнкция: [ р v _х0 q ] = max([ p ], [ q ]).

3. Конъюнкция: [ р _х0 q ] = min([ p ],[ q j).

4. Импликация: [ р = _х0х0 q ] = [ _х0 p v q ].

5. Эквиваленция: [ р _х0 q ] = [(р _х0 q) _х0 (q _х0 р)]

Отрицание в системе G x_o является обобщением второго (симметричного) отрицания т -значной логики Поста. Посредст­вом именно этого отрицания строятся конъюнкция, импликация

и эквиваленция в системе Gх_о. Система Gх_о, построенная пред­ложенным способом, имеет множество тавтологий. (Тавтология принимает значение 1).

Тавтологии в бесконечнозначной “Логике истины” (т. е. в Gх_о) являются тавтологиями в двузначной логике, ибо Gх_о является обоб­щением системы Р Поста, а последняя есть обобщение двузначной логики. Из системы Gх_о вычленяются G₃ ,G_4.,G₅,G₆,...,G_n,т.е. любая конечнозначная “Логика истины”.

Об интерпретации системы Gх_о

В системе Gх_о между крайними значениями истинности: 1 (“истина”) и 0 (“ложь”) лежит бесконечное число значений истинности: ¹/₂,¹/₄,³/₄,¹/_8, ⁷/₈ и т. д. Процесс познания осуществляется таким образом, что мы идем от незнания к знанию, от неполного, неточного знания к более полному и точному, от от­носительной истины к абсолютной. Абсолютная истина (в узком смысле) складывается из бесконечной суммы относитель­ных истин. Если значению истинности, равному 1, придать семантический смысл абсолютной истины, а значению 0 - зна­чение лжи (заблуждения, отсутствия знания), то промежуточ­ные значения истинности отразят процесс достижения абсолют­ной истины как бесконечный процесс, складывающийся из познания относительных истин, значениями которых в системе Gх_о являются ¹/₂,¹ / ₄,³/₄,¹/_8, ⁷/₈ и т. д. Чем ближе значение истин­ности переменных (выражающих суждения) к 1, тем большая степень приближения к абсолютной истине. Так осуществляет­ся процесс познания: от незнания к знанию, от явления к сущно­сти, от сущности первого порядка к сущности второго порядка и т. д. Этот бесконечный процесс познания и отражает бесконечнозначная система Gх_о, построенная автором как обобще­ние двузначной классической логики, характеризующей процесс познания в рамках оперирования лишь предельными значения­ми истинности - “истина” и “ложь”. Такова семантическая ин­терпретация системы Gх_о (“Логика истины”), вскрывающая ее роль в процессе познания истины.

Методологические проблемы

применения многозначных логик для моделирования систем с наличием элемента неопределенности. (О применении многозначных логик в социологии).

Многозначные логики используются при моделировании си­стем с наличием элемента неопределенности. Простейшим при­мером применения трехзначной логики является голосование:

“за”, “против”, “воздержался” или ответы на вопросы: “да”, “нет”, “затрудняюсь ответить”.

Более сложной методологической проблемой является примене­ние многозначных логик при построении социологических анкет. Обычно дается ряд ответов на один вопрос. Ответы формулиру­ются приблизительно так: “да”, “нет”, “скорее да, чем нет”, “ско­рее нет, чем да”, “удовлетворен в значительной степени”, “мало удовлетворен” и т. д. Все эти ответы включают значительный эле­мент неопределенности, что затрудняет выявление мнения людей в ходе социологического опроса (или анкетирования).

Автор считает возможным использовать многозначные логики с различными значениями истинности, т. е., например, 6-ти, или 8-ми, или 9-ти, или 12-значные логики. Составляющий анкету соци­олог должен предлагать конкретные значения истинности суждений, т. е. предусмотреть точные оценки, которые даст сам человек, рабо­тающий с анкетой. Например, в 9-значнои логике значениями ис­тинности будут следующие: 1,¹⁵/₁₆,⁷/₈,³/_4,¹/_2,¹/_4,¹/_8, ¹/_16, 0.

Если человек, например, при ответе на вопрос: “Удовлетво­рен ли он своим трудом?”им полностью удовлетворен, то в соответствующем разделе он напишет 1, если же он полностью не удовлетворен, то напишет значение 0. Если он почти удовле­творен (согласен), то напишет либо ¹⁵/₁₆ либо ⁷/₈; если же он почти не удовлетворен, то напишет ¹/₁₆ или ¹/_8. Если он не знает ответа или думает неопределенно, то напишет ¹/₂.

При обработке информации на ЭВМ на основе данных число­вых характеристик ответов можно получить более точные зна­ния о мнении в репрезентативной выборке любого вида (стихий­ной, квотной, вероятностной и других, когда применяется непол­ная индукция)или во всей генеральной совокупности (т. е. при сплошном обследовании, когда применяется полная индукция).

Бесконечнозначная система Fх_о - “Логика лжи”

Аристотель охарактеризовал ложь так: ложное говорит тот, “кто думает обратно тому, как дело обстоит с вещами”'. Ложь может быть не только измышлением о том, чего не было, но и сокрытием или отрицанием того, что было. Ложь бывает непреднамеренной (паралогизм) или преднамеренной (софизм). В мышлении ложь формулируется в виде суждений. Иногда понятие “ложь” упо­требляется как синоним понятия “заблуждение”. Ведь и ложь, и заблуждение - формы неистинного знания. Причины возникнове­ния заблуждений сходны с теми, которые порождают ложь: огра­ниченность общественно-исторической практики, абсолютизация отдельных моментов процесса познания, нарушение логических правил доказательств, человеческие эмоции, догматический стиль мышления и др. Однако в отличие от лжи заблуждение выступает как неотъемлемый момент процесса познания, диалектически связанный с истиной.

Существует специфика логического подхода к понятию “ложь”. В двузначной логике отрицание истинного суждения дает лож­ное суждение и наоборот. Сложнее обстоит дело в многозначных логиках. В трехзначных логиках имеется три значения истинно­сти: “истина”, “ложь”, “неопределенно”; при этом неистинное суждение может быть как ложным суждением, так и неопреде­ленным. В т -значной логике Поста допускается т значений ис­тинности, предельными из которых являются “истина” и “ложь”. В бесконечнозначной “Логике истины” Gх_о между 1 и 0 лежит бесконечное число значений истинности.

Автор построила бесконечнозначную систему “Логики лжи” - Fx_o (от англ. false - ложь), которая отражает бесконечный процесс познания, идущий от незнания не к истине, а к заблуждению. В результате человек приходит к ложным суждениям - в юридичес­кой деятельности (неверно построенные версии в процессе рассле­дования преступления), медицинской практике (постановка оши­бочного диагноза), в научном творчестве (выдвижение ложных ги­потез) и других сферах человеческой деятельности. Степень заблу­ждения бывает различной и может доходить до абсурда. Причем

_______________________

'Аристотель. Метафизика // Соч.: в 4-х т.М. 1976. Т. 1. С. 250.

процесс возможного заблуждения потенциально бесконечен, что отражено в системе Fх_о.

Система Fх_о имеет свою интерпретацию. Ее значения истин­ности отражают степень заблуждения, возникшего в результате либо умышленной дезинформации, либо незнания, либо непра­вильного истолкования результатов эксперимента, либо допуще­ния логических ошибок, либо по другим причинам.

Значениями истинности в “Логике лжи” являются: - 1 (ложь, заблуждение), 0 (незнание, отсутствие знания) и все дробные числа в интервале от 0 до - 1, построенные по определенной форме. То есть:

- 1, - ¹/_2, - ¹/_4, - ³/_4, - ¹/₈, - ¹/₁₆, - ¹⁵/₁₆,.... - (¹/₂)^k, - (¹/₂)^k * ( 2 ^k - 1),..., 0

(где k - натуральное число).

Логические операции в Fх_о определены следующими равенствами:

1. Отрицание: [ù _x0 р ]= - 1- [ р ] = - (1+[ p ])

2. Дизъюнкция: [ p _x0 q ]=max([ p ],[ q ]).

3. Конъюнкция: [ p & _x0 q ]=min([ p ],[ q ]).

4. Импликация: [ р → p _x0 q ]=[ ù _x0 p _x0 q ]

5. Эквиваленция: [ р _x0 q ] = [(p → _x0 q)& _x0 (q → _x0 p)].

Тавтология (закон логики) принимает значение 0. Например, тавтологией является правило снятия двойного отрицания.

Из бесконечнозначной системы Fх_о вычленяются конечнозначные системы, F₂ ,F₃ ,F₄,….. F_n.

Закон исключенного третьего, закон непротиворечия и их от­рицания в трехзначной “Логике лжи” (Fх_о) не являются тавтоло­гиями, ибо в колонках, соответствующих этим формулам, присут­ствуют значения или –¹/₂ или как –¹/₂ , так как и - 1, а тавтоло­гией является формула, принимающая лишь значение 0. Если

эти законы не являются тавтологиями в трехзначной системе “Логика лжи”, то они не будут тавтологиями и в четырехзначной системе “Логика лжи” (F₄) и в F₅, и т. д. (т. е. в любой конечнозначной “Логике лжи”) и в бесконечнозначной “Логике лжи” Fх_о.

Система Fх_о и другая построенная автором бесконечнозначная логика Gх_о в совокупности охватывают оба направления в процессе познания - как в сторону истины, так и, к сожалению, в сторону лжи, заблуждения.

§ 6. Законы исключенного третьего и непротиворечия в неклассических логиках (многозначных, интуиционистской, конструктивных)

В главе IV “Законы (принципы) правильного мышления” была проанализирована специфика действия закона исключенного треть­его при наличии “неопределенности” в познании, сделан вывод, что закон этот применяется там, где познание имеет дело с жесткой ситуацией: или - или, истина - ложь. Во многих неклассических логических системах формулы, соответствующие законам исклю­ченного третьего и непротиворечия, не являются тавтологиями.

Ниже приведена таблица (см. с. 430), в которой знаком “ + ” обозначено то, что в указанной логической системе закон не­противоречия и закон исключенного третьего, т. е. формулы и , являются тавтологиями (или выводимыми фор­мулами), и соответственно знаком “ - ”, когда не являются. Рас­смотрено, кроме того, отрицание закона непротиворечия, выражающееся формулой , и отрицание закона исключенного третьего, выражающееся формулой . В этих формулах име­ется в виду та форма отрицания, которая принята в указанной логической системе.

В интуиционистской и конструктивных логиках закон исклю­ченного третьего для бесконечных множеств “ не работает ”. Осу­ществимость в конструктивной математике понимается как потенциальная осуществимость конструктивного процесса, даю­щего в результате один из членов дизъюнкции, который должен

Вид логической системы	Закон исключенного третьего a	Закон непротиворечия	Отрицание закона исключен­ного третьего	Отрицания закона непротиворечия	Формальное противоречие
1. Двузначная классическая логика	+	+	-	-	-
2. Трехзначная логика Лукасевича	-	-	-	-	-
3. Трехзначная логика Рейтинга	-	+	-	-	-
4. Трехзнач-ная логика Рейхенба-ха: а)цикличе-ское отрицание	-	-	-	-	-
б) диаметраль-ное отрицание	-	-	-	-	-
в) полное отрицание	+	+	-	-	-
5. т -значная логика Поста: а)первое отрицание	-	-	-	-	-
б)второе отрицание	-	-	-	-	-
6. Конструктив-ная логика Маркова	-	+	-	-	-
7. Конструктив-ная логика Гливенко	-	+	-	-	-
8. Конструктив-ная логика Колмогорова	-	+	-	-	-
9. Интуиционистская логика Гейтинга	-	+	-	-	-

истинным. Но так как для бесконечных множеств нет алгоритма распознавания, что является истинным: а или не-а, то конструк­тивная логика отвергает закон исключенного третьего в преде­лах конструктивной математики.

Итак, из таблицы видно, что формула a , соответствую­щая закону исключенного третьего, из рассмотренных 12 видов отрицания не является тавтологией, или доказуемой формулой, для 10 видов.