Специфика закона непротиворечия в неклассических логиках

В результате исследования 9 формализованных логических систем выявлено, что из 12 приведенных видов отрицания для 7 видов закон непротиворечия является тавтологией (или дока­зуемой формулой), для остальных же 5 закон непротиворечия тавтологией (доказуемой формулой) не является. По сравнению с законом исключенного третьего закон непротиворечия более устойчив.

Закон непротиворечия не является тавтологией во многих мно­гозначных логиках. В классической, интуиционистской и кон­структивных логиках закон непротиворечия, наоборот, признается неограниченно действующим. Причина в том, что в многознач­ных логиках число значений истинности может быть как конеч­ным (большим 2), так и бесконечным. В логических системах, в которых отражена жесткая ситуация, “или - или” (истина - ложь), закон непротиворечия и закон исключенного третьего -тавтологии. Но это предельные случаи в познании (истина или ложь). Если же в процессе познания мы еще не достигли исти­ны или еще не опровергли какое-либо утверждение (доказав его ложность), то нам приходится оперировать не истинными или ложными, а неопределенными суждениями.

Классическая двузначная логика должна быть дополнена мно­гозначными логиками, в частности бесконечнозначной логикой, которая применима в процессе рассуждения об объектах, отража­емых в понятиях с нефиксированным объемом, и бесконечное число значений истинности которой лежит в интервале от 1 до 0. Совсем другие ситуации в познании отражены в конструктив­ных и интуиционистской логиках: конструктивный процесс или имеется (осуществляется), или его нет, но то и другое не может иметь места одновременно по отношению к одному и тому же кон­структивному объекту или процессу, поэтому закон непротиворе­чия в этих логиках действует неограниченно. В конструктивных логиках приняты абстракции, отличные от тех, которые приняты в многозначных логиках. В конструктивных и интуиционистской логиках принимаются лишь два знамения истинности - истина и

ложь, доказуемо (выводимо) или недоказуемо (невыводимо), поэ­тому закон непротиворечия - выводимая формула.

Однако независимо от того, является ли закон непротиворе­чия в той или иной логической системе тавтологией или не яв­ляется, сами логические системы строятся непротиворечиво:

иными словами, метатеория (металогика) построения форма­лизованных систем подчиняется закону непротиворечия, иначе такие системы были бы бесполезными, так как в них было бы выводимо все что угодно - как истина, так и ложь.

Очень важным в гносеологическом и логическом плане резуль­татом является то, что закон непротиворечия и закон исключен­ного третьего нельзя опровергнуть, так как отрицание этих зако­нов ни в одной из известных форм, ни в одной из исследованных автором 18 логических системах не является тавтологией (или выводимой, доказуемой формулой), что свидетельствует об их фундаментальной роли в познании. Закон непротиворечия - один из основных законов правильного человеческого мышления - ус­тойчив, его нельзя опровергнуть и заменить другим, в противном случае стерлось бы различие в познании между истиной как его целью и ложью.

Многообразие логических систем свидетельствует о развитии науки логики в целом и ее составных частей, в том числе теории основных фундаментальных формально-логических законов - за­кона непротиворечия и закона исключенного третьего.

§ 7. Модальные логики

В классической двузначной логике рассматривались простые и сложные ассерторические суждения, т. е. такие, в которых не установлен характер связи между субъектом и предикатом, например: “Морская вода соленая” или “Дождь то начинал хле­стать теплыми крупными каплями, то переставал”.

В модальных суждениях раскрывается характер связи между субъектом и предикатом или между отдельными простыми суждениями в сложном модальном суждении. Например: “Необходимо, что металлы - проводники электрического тока” или “Если будет дуть попутный ветер, то, возможно, мы приплывем в гавань до наступления темноты”.

Модальными являются суждения, которые включают мо­дальные операторы (модальные понятия), т. е. слова “необхо­димо”, “возможно”, “невозможно”, “случайно”, “запрещено”, “хорошо” и многие другие (см. главу III, § 6 “Деление сужде­ний по модальности”). Модальные суждения рассматривают­ся в специальном направлении современной формальной ло­гики - в модальной логике.

Изучение модальных суждений имеет длительную и многогран­ную историю. Мы отметим лишь некоторые из ее аспектов. Мо­дальности в логику были введены Аристотелем. Термин “воз­можность”, по Аристотелю, имеет различный смысл. Возможным он называет и то, что необходимо, и то, что не необходимо, и то, что возможно. Исходя из понимания модальности “возможность”, Аристотель писал о неприменимости закона исключенного тре­тьего к будущим единичным событиям.

Наряду с категорическим силлогизмом Аристотель исследу­ет и модальный силлогизм, у которого одна или обе посылки и заключение являются модальными суждениями. Я. Лукасевич в книге “Аристотелевская силлогистика с точки зрения современ­ной формальной логики” две главы посвящает аристотелевской модальной логике предложений (гл. VI) и модальной силлоги­стике Аристотеля (гл. VIII)'. Аристотель рассматривает модаль­ную силлогистику по образцу своей ассерторической силлоги­стики: силлогизмы подразделяются на фигуры и модусы, неправильные модусы отбрасываются с помощью их интерпре­тации на конкретных терминах.

Согласно Аристотелю, случайность есть то, что не необхо­димо и не невозможно, т. е. р - случайно означает то же самое, что и р - не необходимо и р - не невозможно, но Лукасевич отмечает, что аристотелевская теория случайных силлогизмов полна серьезных ошибок². Итог исследований Лукасевича та­кой: пропозициональная модальная логика Аристотеля имеет ог­ромное значение для философии; в работах Аристотеля можно

_____________________________

'Lukasiewicz J. Aristotle's Syllogistic from the Standpoint of Modem Formal Logic. Clarendon Press. Oxford, 1957; Лукасевич Я. Аристотелевская силлоги­стика с точки зрения современной формальной логики. М., 1959.

²Ibid. Ch. VIII. § 60.

найти все элементы, необходимые для построения полной систе­мы модальной логики; однако Аристотель исходил из двузначной логики', в то время как модальная логика не может быть двузнач­ной. К идее многозначной логики Аристотель подошел вплотную, рассуждая о “будущем мореном сражении”. Следуя Аристотелю, Лукасевич в 1920 г. построил первую многозначную (трехзнач­ную) логику. Так осуществляется связь модальных и многознач­ных логик.

Значительное внимание разработке модальных категорий уде­ляли философы в Древней Греции и особенно Диодор Крон, рас­сматривавший модальности в связи с введенной им временнбй переменной. В средние века модальным категориям также уделя­лось большое внимание. В XIX в. категорию вероятности разрабатывали Дж. Буль и П. С. Порецкий.

Возникновение модальной логики как системы датируется 1918г., когда американский логик и философ Кларенс Ирвинг Льюис (1883-1964) в работе “A Survey of Symbolic Logic” сформулировал модальное исчисление, названное им впослед­ствии S3.

В книге “Simbolic Logik”, написаннойим совместно с К. Лэнгфордом в 1932 г., он сформулировал еще пять модальных логиче­ских систем, связанных с S3 и между собой. Это - системы S1, S2, S4, S5,S6.

Приведем описание модальной системы S1².

I. Исходные символы:

1. р, q, r и т. д. - пропозициональные переменные;

2. ~ р - отрицание р

3. р* q – конъюнкция p и q;

4.р q - строгая импликация льюисовской системы;

5. ◊ р- модальный оператор возможности (возможно p);

6. р = q - строгая эквивалентность, р = q равносильно (р q)*(q p)

_____________________________

'Отметим, что этот теперь общепринятый термин - “двузначная логика” -был введен Лукасевичем.

²Cм.-.LewisC.J^LandfordC.H. Symbolic Logic. New Jork, 1932.P. 123-126. В их работе вместо скобок стоит знак “ • ”, мы же употребляем скобки.

II. Аксиомы системы S1:

1) p*q q*p;

2) p*q p;

3) p p*p;

4) (p*q)*r p*(q*r),

5) р ~ ~ р;

6)(p q)*(q r) [p r};

7) p*(p q) q.

Аксиома 5 может быть выведена из остальных, как было по­казано позднее. Так как конъюнкция связывает “сильнее”, чем импликация, то скобки можно опустить или заменить их точка­ми; как это сделано у Льюиса.

III. Правила вывода S1:

1) Правило подстановки. Любые два эквивалентных друг дру­гу выражения взаимозаменимы.

2) Любая правильно построенная формула может быть подставлена вместо р, или q. или r и т. д. в любом выражении.

3) Если выводим о р и выводим о q, то выводимо р • q.

4) Если выводим о р и выводим о р q, то выводимо q.

Льюис построил модальную пропозициональную логику S1 в виде расширения немодального (ассерторического) пропозицио­нального исчисления. При этом основные черты S1и других его исчислений были скопированы с формализованной логической системы Principia Mathematica Рассела и Уайтхеда, сформули­рованы с помощью понятий, только терминологически отличаю­щихся от понятий, использованных в Principia Mathematica. Кро­ме Рассела и Уайтхеда, идеи классической логики развивали многие современные математические логики, например, амери­канский логик и математик С. Клини'. Исчисления Льюиса по-

____________________________

'Kleene S. С. Mathematical Logik. New York - London - Sydney, 1967.

строены аксиоматически по образцу Principia, и по аналогии с Principia Льюис доказывает ряд специфических теорем.

В классической двузначной логике логическое следование отождествляется с материальной импликацией и допускают­ся такие формы вывода:

p→ (q→p). (1)

т. е. истинное суждение следует из любого суждения (“исти­на следует откуда угодно”),

p→( →q) (2)

т. е. из ложного суждения следует любое суждение (“из лжи сле­дует все, что угодно”). Это противоречит нашему содержательно­му, практическому пониманию логического следования, поэтому данные формулы, как и некоторые другие, и соответствующие им принципы логического следования называются парадоксами ма­териальной импликации.

Льюис создал свои новые системы с целью избежать этих парадоксов и ввести новую импликацию, названную им “стро­гой импликацией”, такую, чтобы логическое следование представлялось не чисто формально, а по смыслу (содержатель­но) и новая импликация была ближе к связке естественного язы­ка “если, то”. В строгой импликации Льюиса р q невозможно утверждать антецедент, т. е. р, и отрицать консеквент, т. е. q ¹.

В системах Льюиса были устранены парадоксы материаль­ной импликации, т.е. формулы (1) и (2) стали невыводимыми, но появились парадоксы строгой импликации. К ним относятся, например, такие формулы:

(~ ◊ ~ p) (q p) (3)

(~ ◊ p) (p q) (4)

Итак, отождествлять строгую импликацию Льюиса со следова­нием нельзя.

________________________

'Антецендент - первый член импликации, которому предпослано слово “если”. Консеквент - второй член импликации

С целью исключить парадоксы строгой импликации Льюиса немецкий математик и логик Ф. В. Аккерман (1896 -1962) по­строил свою систему модальной логики. Он ввел так называемую сильную импликацию, которая не тождественна строгой имплика­ции Льюиса, и модальные операторы Аккермана и Льюиса также не являются тождественными. Аккерман все логические терми­ны и модальные операторы определяет через сильную импликацию так: NA равносильно →λ, МА равносильно . Здесь А - любая правильно построенная формула системы Аккермана; N- оператор необходимости; М- оператор возможности; -от­рицание A; → обозначает сильную импликацию; - логическая постоянная, обозначающая “абсурдно”. Эта постоянная в свою очередь определяется так: А& , где & обозначает конъюнк­цию. И последняя формула читается так: из противоречия, т. е. А и не-А, следует абсурд. В системе Аккермана не выводятся фор­мулы, структурно подобные парадоксам материальной или строгой импликации.

Системы Льюиса и Аккермана являются бесконечнозначными. В отличие от этих систем первоначально построенные сис­темы Лукасевича являются конечнозначными: одна - трехзначная (1920), другая - четырехзначная (1953). В четырехзначной системе Лукасевича¹ также обнаружены парадоксы. Главный из них состоит в том, что ни одно аподиктическое предложение не истинно, т. е. ни одно суждение вида L (где L обозначает не­обходимость, а - любая формула) не является истинным. Это означало бы, что необходимых суждений нет, т. е. модальный оператор “необходимо” упраздняется. Лукасевич пишет: “Лю­бое аподиктическое предложение должно быть отброшено”². Сам Лукасевич считал это достоинством своей системы, а понятие “необходимость” - псевдопонятием. С такой точкой зрения, ко­нечно, согласиться нельзя.

Интерпретации модальных логик различны. Известный авст­рийский философ и логик Р. Карнап (1891-1970) пытался ин­терпретировать модальные понятия (операторы) с помощью так

____________________________

'См.' Lukasiewicz J. Aristotle's Syllogistic from the Standpoint of Modem For­mal Logik. Clarendon Press. Oxford, 19S7. Ch. VII; Лукасевич Я. Аристотелев­ская силлогистика с точки зрения современной формальной логики. М., 1959.

4bid. Ch. VII. § 50.

называемой теории “возможных миров”, в которой допускается наличие множества “миров”, один из которых -действительный, реальный мир, а остальные - возможные миры. Необходимым объ­является то, что существует во всех мирах, возможным - то, что существует хотя бы в одном.

Р. Карнап в 1946 г., используя понятие “описание состояния”, предложил интерпретацию модальных операторов, в основе кото­рой лежала идея различия возможного и действительного мира.

В ином направлении шел финский логик Я. Хинтикка. Крити­чески переосмыслив введенное Карнапом понятие “описание состояния”, он разработал технику “модальных множеств”, т. е. миров (1957), - оригинальную семантическую концепцию возмо­жных миров. Разработка семантики возможных миров для мо­дальных логик продолжается.

Разнообразными проблемами модальной логики занимается американский логик Р. Фейс'.

В настоящее время разработаны многие виды модальностей, ко­торые отражены в таблице, помещенной на с. 97 данного учебника.

Теорией модальных логик и построением новых модальных логических систем активно занимаются логики А. А. Ивин², Я. А. Слинин³, Б. С. Чендов⁴,0. Ф. Серебряников, В. Т. Павлов и др.

§ 8. Положительные логики

Положительные логики (сокращенно - ПЛ) - это логики, по­строенные без операции отрицания. Их можно разделить на два вида:

1) ПЛ в широком смысле слова, или квазипозитивные логи­ки. Они построены без операции отрицания, но отрицание мо­жет быть выражено средствами их логических систем;

2) ПЛ в узком смысле слова. Они построены без операции от­рицания, и отрицание не может быть выражено в их системах.

___________________________

'См.: Фейс Р. Модальная логика. М., 1974.

²Cм.: Ивин А. А. Основания логики оценок. М., 1970; его же. Логика норм. М„ 1973.

³См.: Слинин. Я. А. Современная модальная логика. Л., 1976.

⁴См.: Чендов Б. С. Логика на научного познание. Серия “Логика и приме­нения”. София, 1992. Т. 2.

Можно предложить классификацию ПЛ и по другому основа­нию: числу логических операций, на котором построена ПЛ.

Квазипозитивными логиками, построенными на одной опе­рации, являются логика, построенная на операции “штрих Шеффера” (антиконъюнкция), и логика, основанная на операции ан­тидизъюнкции. Квазипозитивная логика, построенная на опе­рации антидизъюнкции, которая соответствует сложному союзу “ни..., ни...” и обозначается а b (“ни а, ни b), таблично опре­делена так:

а	b	a b
И	И	Л
И	Л	Л
Л	И	Л
Л	Л	И

Ряд квазипозитивных логик основан на двух операциях. ПЛ в узком смысле, основанными на одной операции, являются импликативная логика, основанная на операции импликации, и логика, построенная на операции эквиваленции. Ряд ПЛ осно­ван на двух операциях:

а) на импликации и конъюнкции;

б) на дизъюнкции и конъюнкции;

в) на импликации и дизъюнкции.

ПЛ (в узком смысле) является подсистемой (частичной си­стемой) более сильных логик - интуиционистской и классиче­ской. Все утверждения ПЛ имеют силу как в интуиционистской логике, так и в классической логике. Внутри самих ПЛ также имеются различные по силе системы. Так, импликативная логи­ка, включающая две аксиомы, слабее, чем ПЛ, включающая, кроме этих двух, аксиомы, характеризующие конъюнкцию и дизъюнкцию. Аксиоматическое построение подтверждает это со­отношение: самой сильной является классическая логика, слабее интуиционистская, еще слабее ПЛ.

Общим для ПЛ в широком и узком смыслах является то, что среди логических констант этих систем нет операции отрицания.

Отличия этих систем следующие:

1) в квазипозитивных логиках операция отрицания выразима средствами этой логики, а в ПЛ в узком смысле операция отрица­ния не выразима;

2) квазипозитивные логики являются моделями классической логики, т.е. они эквивалентны классической логике высказыва­ний, а ПЛ в узком смысле не эквиваленты классической логике, являясь ее подсистемами (частичными системами), следователь­но, они слабее классической логики высказываний.

Роль ПЛ в искусственных языках весьма значительна. Особен­но это касается конструктивной логики А. А. Маркова, которая строится на иерархии языков. В алфавите языка Я₁, нет отрица­ния, и в нем нельзя выразить отрицание, ибо нет импликации. Марковым был построен язык Я₁, который хотя и узок, но приспо­соблен для описания работы нормальных алгоритмов. Этот язык пригоден для выражения некоторых отношений между словами, встречающимися в чистой семиотике и в теории алгоритмов. С помощью языка Я₁, (языка без отрицания) можно дать описа­ние работы различных алгоритмов - и в этом состоит важное значение языка без операции отрицания.

Логическая система без операции логического отрицания нахо­дит свое применение при построении машинных программ. Но если взять искусственные языки - такие, как ФОРТРАН или КОБОЛ, которые позволяют воспользоваться высокоэффективным спосо­бом программирования, то в их состав, кроме логического сложе­ния и логического умножения, входит и логическое отрицание, со­ответствующее частице “не” и обозначаемое знаком “ ù ”. Все инструкции о том, как произвести сборку замков, мебели, по ис­пользованию машин, инструментов, технических приборов и т. п. основаны на содержательном (не формализованном) использова­нии ПЛ.

§ 9. Паранепротиворечивая логика

Эта логика представляет одно из направлений современной неклассической математической логики. Объективной основой появления паранепротиворечивых логик является стремление отразить средствами логики специфику мышления человека о

переходных состояниях, которые наряду с устойчивостью и от­носительным покоем наблюдаются в природе, обществе и поз­нании. В природе и обществе происходят изменения, предме­ты и их свойства переходят в свою противоположность, поэтому нередки переходные состояния, промежуточные ситуации, не­определенность в познании, переход от незнания или неполно­го знания к более полному и точному. Действие законов дву­значной логики - закона исключенного третьего и закона непротиворечия - в этих ситуациях ограничено или вообще исключено. На необщезначимость этих законов указывал еще Ари­стотель. Говоря о будущих единичных случайных событиях, по Аристотелю, нельзя считать суждение истинным или ложным, оно неопределенно.

Закон непротиворечия утверждает, что два противоположных суждения не могут быть истинными в одно и то же время и в одном и том же отношении. Но в разное время они могут быть оба истинными. Аристотель писал: “Все изменяющееся необхо­димо должно быть делимым... необходимо, чтобы часть изменя­ющегося предмета находилась в одном (состоянии), часть - в дру­гом, так как невозможно сразу быть в обоих или ни в одном”'.

Вследствие неопределенности интервалов и неопределенности состояний изменяющегося предмета предполагается временная ин­тервальная Паранепротиворечивая семантика, допускающая истин­ность как высказывания А, так и не-А. Кроме временных интер­валов с переходными состояниями, наше мышление имеет дело с так называемыми нечеткими понятиями (нежесткими, расплывча­тыми, размытыми –fuzzy), отражающими нежесткие множества, концепция которых предложена в 1965 г. американским математи­ком Л. Заде². Все это обусловило необходимость и возможность появления паранепротиворечивых логик (paraconsistent logics) -логических исчислений, которые могут лежать в основе противо­речивых формальных теорий. Противоречивые данные возника­ют на судебных заседаниях, в дискуссиях, полемике, при поста­новке диагноза болезни, в научных теориях (прежних и новых), в

_____________________________

'Аристотель. Физика // Соч.: в 4-х т. М., 1981.Т. 3. С.186-187.

² См.: Zadeh L. A. Fuzzy Sets// Information and Control. 1965. Vol.8. № 3.

ситуациях, связанных с решением нравственных проблем, в дру­гих сферах интеллектуальной деятельности. В связи с этим встала проблема создания информационной системы, работающей с про­тиворечивыми данными.

Предшественниками паранепротиворечивой логики как нового вида неклассичесиой формальной логики явились логики Н. А. Ва­сильева и Я. Лукасевича. Как новый вид математической логики паранепротиворечивая логика разрабатывалась в работах польско­го логика Ст. Яськовского (1948) и бразильского математика Нью­тона да Коста (начиная с 1958 г.) История паранепротиворечивой логики изложена бразильским логиком А. И. Аррудой в работе “Об­зор паранепротиворечивой логики. Математическая логика в Ла­тинской Америке”'.

В паранепротиворечивых системах принцип (закон) непротиво­речия лишен всеобщей значимости. Логике не присущи ни единст­во, ни абсолютность - эту мысль мы встречаем у многих совре­менных логиков, в том числе у Н. да Косты. В статье, написанной специально для журнала “Философские науки”, “Философское значение паранепротиворечивой логики” Н. да Коста пишет: “До­пустим, что имеющийся у нас язык дедуктивной теории Т содер­жит в себе символ отрицания. Т называют противоречивой (in­consistent) теорией, если и только если в Т имеются две теоремы, одна из которых есть отрицание другой; в противоположном слу­чае Т считается непротиворечивой (consistent). Т считают триви­альной, если и только если все формулы (или все высказывания [sentences]) языка Т являются также теоремами Т; в противном случае мы называем Т нетривиальной... Система логики паранепротиворечива, если она может быть использована как логика, лежащая в основе противоречивых, но нетривиальных теорий”². Н. да Коста полагает, что вместо стандартных теорий множеств могут быть использованы паранепротиворечивые теории мно­жеств. Система паранепротиворечивой логики в общем случае должна удовлетворять следующим условиям:

_____________________

'См.: Arruda A. I. A Survey of Paraconsistent Logik: Mathematical Logik in Latin Americal (Ed. by Arruda A. I., Chuaqui R. and Da Casta N.C. A.) Dordrecht, 1980. P. 1-41.

²Философские науки. М., 1982. № 4. С. 117.

1) из двух противоречащих формул А и ù А в общем случае нельзя вывести произвольную формулу В;

2) дедуктивные средства классической логики должны быть максимально сохранены, поскольку они - основа всех обычных рассуждений. В первую очередь должен быть сохранен modus poaens, т. е. рассуждение по формуле ((а → b)^ а) → b.

Паранепротиворечивая логика связана со многими видами не­классических логик: с модальной логикой (системой S5 К. И. Льюиса), с многозначными логиками, с релевантной логи­кой, где тоже не принимается принцип: из противоречия следует все, что угодно'. Исследование многозначных логик показало, что закон непротиворечия, т. е. формула , не является тавтологи­ей в следующих системах: трехзначных логиках - Я. Лукасевича, Г. Рейхенбаха (для циклического и диаметрального отрицаний), Р. П. Гудстейна, Д. Бочвара (для внутреннего отрицания); т -значной логике Э. Л. Поста. Автор этого учебника исследовала 13 фор­мализованных логических систем с 17 имеющимися в них вида­ми отрицания и установила, что для 10 видов закон непротиворечия является тавтологией (доказуемой формулой), а для остальных 7 нет. Это обусловлено тем, что, кроме значений истинности - “ис­тина” и “ложь”, в многозначных логиках имеется значение “неопределенно”. Но в классической, конструктивных и интуи­ционистской логиках от закона непротиворечия нельзя отказать­ся, ибо в этих логиках отражены жесткие ситуации “или - или” (“истина - ложь”), конструктивный процесс присутствует или его нет, одновременно того и другого не бывает. Поэтому классичес­кая, интуиционистская, конструктивная и ряд других логик не го­дятся в качестве логик, которые могут быть основанием противо­речивых, но нетривиальных теорий. Положительные логики также для этого не годятся, ибо в них нет операции отрицания. Некото­рое современные логики (например, немецкий логик К. Вессель) не признают паранепротиворечивых логик. Построением паранепротиворечивых логических систем занимаются, од­нако, отечественные логики А. С. Карпенко, А. Т. Ишмурагов и др.

Интересны и оригинальны статьи американского математи­ка Н. Белнапа “Как нужно рассуждать компьютеру” (1976) и “Об

________________________

'См.: Табаков Мартин. Логика и аксиоматика. София, 1986.

одной полезной четырехзначной логике” (1976), посвященные формализации общения с информационными системами, в ко­торых содержится противоречивая информация. Белнап постро­ил четырехзначную логику, значениями истинности которой яв­ляются следующие: Т - “говорит только Истину”; F - “говорит только Ложь”; None - “Не говорит ни Истины, ни Лжи”; Both -“говорит и Истину, и Ложь”'. Н. Белнап отмечает, что входные данные поступают в компьютер из нескольких независимых источников, и в таких условиях проявляется типичная особен­ность информационной ситуации - угроза противоречивости информации. Что в таком случае должен делать компьютер, осо­бенно если в системе содержится необнаруженное противоре­чие? Свою четырехзначную логику Белнап и предлагает в каче­стве практического руководства в рассуждениях².

Итак, паранепротиворечивые логики демонстрируют возмож­ность наличия очень сильных противоречивых, но нетривиаль­ных (т. е. паранепротиворечивых) теорий.

___________________________

'Белнап Н.. Стил Т. Логика вопросов и ответов. М., 1981. С. 214.

²'См.: там же. С. 208-215.