Отрицание Лукасевича

[ Nx ] = 1 - [ x ]

'См.: Lukasiewicz J. О pojeciu mozliewosci //Buch Filozoficzny. Lwow. 1920. Vol. 5. № 9.

Конъюнкция определяется как минимум значений аргумен­тов: [ Кху ] = min ([ х ],[ у ] ); дизъюнкция - как максимум значений х и у [ Аху ]= таx ([ х ],[ у ] ).

Пользование таблицей для импликации Лукасевича, выражен­ной в форме х → у, происходит так. Слева в первой колонке на­писаны значений для х, а сверху - значения для у. Возьмем, напри­мер [ х ] = ¹/₂ (т. е. значение для х, равное ¹/₂), а [ у ] = 0, получаем импликацию ¹/₂→ 0. На пересечении получаем результат ¹/₂.

Если в формулу входит одна переменная, как, например, в случае формулы a , то таблица истинности для этой форму­лы, включающая все возможные значения истинности, или ложности, или неопределенности ее переменной в таблице, будет состоять из 3' = 3 строки; при двух переменных в таблице будет 3² = 9 строк; при трех переменных в таблицеимеем З³ = 27 строк; при n переменных будет 3 ⁿ строк.

Покажем, как происходит доказательство для формул a (закон исключенного третьего) и для (закон непротиворе­чия), содержащих одну переменную, т. е. а. В таблице будет всего 3' = 3 строки.

a		a	a ^
1/2	1/2	1/2	1/2	1/2

Для доказательства формулы a используем знание о том, что дизъюнкция берется по максимуму. В третьей колонке, со­ответствующей a, видим, что вместе со значениями 1 есть значение ¹/₂. Следовательно, эта формула не есть закон логики. Аналогично строятся колонки 4 и 5, только соблюдая условие, что конъюнкция берется по минимуму значений. Формула также не является законом логики.

Теперь посмотрим, является ли законом логики формула (х → ( ^ у)) → , содержащая две переменные х и у В таблице будет З² = 9 строк. Распределение значений истинности для х и у показано в первой и второй колонках.

Вывод: так как в последней колонке встречается два раза зна­чение неопределенности (т. е. ¹/₂), то данная формула не является законом логики.

На основе данных определений отрицания, конъюнкции и дизъ­юнкции Лукасевича не будут тавтологиями (законами логики) за­кон непротиворечия и закон исключенного третьего двузначной логики. В системе Лукасевича не являются тавтологиями и отри­цания законов непротиворечия и исключенного третьего дву­значной логики. Поэтому логика Лукасевича не является отрица­нием двузначной логики. В логике Лукасевича тавтологиями являются: правило снятия двойного отрицания, все четыре пра­вила де Моргана и правило контрапозиции: а → b → . Не являются тавтологиями правила приведения к абсурду двузначной логики; (х → ) → и (х → ( ^ у)) → (т. е. если из х вы­текает противоречие, то из этого следует отрицание х). Это было доказано (см. таблицу 3).

Таблица 3

x	у			^ y	x →( ^ y)	(x → ( ^ у)) →
		0	0	0	0
	1/2		1/2	1/2	1/2	1/2
1/2		1/2			1/2
1/2	1/2	1/2	1/2	1/2		1/2
1/2		1/2
	1/2		1/2	1/2

В системе Лукасевича не являются тавтологиями и некото­рые формулы разделительно-категорического силлогизма с не­строгой дизъюнкцией.

Все тавтологии логики Лукасевича являются тавтологиями в двузначной логике, ибо если отбросить значение ¹/₂, то в логике

Лукасевича и в двузначной логике определение функций конъюнкции, дизъюнкции, импликации и отрицания соответст­венно совпадут. Но так как в логике Лукасевича имеется третье значение истинности –¹/₂, то не все тавтологии двузначной ло­гики являются тавтологиями в логике Лукасевича.