Основные понятия теории множеств

Понятие множества является первичным и поэтому формально не может быть определено. Обычно множество объясняют, следуя основателю теории множеств Г. Кантору, как совокупность объектов произвольной природы, рассматриваемую, как единое целое.

Объекты, составляющие множество, называют его элементами. Множества обозначают прописными буквами латинского алфавита (), элементы множеств – строчными буквами ().Утверждение «элемент принадлежит множеству » записывается следующим образом: ( – символ принадлежности). В противном случае – (или ).

Если каждый элемент множества входит в множество , то называется подмножеством . При этом пишут: или . Если и , то пишут или . Здесь , , , – символы включения. Множества и равны, если они состоят из одних и тех же элементов, иначе говоря, если и .

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым (обозначается ). Множество называется истинным, если оно не пустое.

Из определения подмножества следует, что каждое множество является подмножеством самого себя: . Кроме того, считают, что пустое множество есть подмножество любого множества : .

Различают два вида подмножеств множества : само и называют несобственными подмножествами; все остальные подмножества, если они существуют, – собственными.

В теории множеств для удобства и краткости записей используют специальные обозначения:

– квантор общности (означающий «любой», «для всех», «каков бы ни был»);

– квантор существования (означающий «существует», «найдется», «можно найти»);

– импликация (символ следствия, означающий «влечет за собой).

С помощью этих символов условие запишется так:

.

Множество называется эквивалентным множеству (обозначается ), если между элементами и можно установить взаимно однозначное соответствие. Различают конечные и бесконечные множества. Число элементов множества называется его мощностью или кардинальным числом и обозначается или card (англ. cardinality – мощность). Таким образом, конечное множество, содержащее элементов, имеет мощность . Если эквивалентно множеству натуральных чисел , то его называют счетным и его мощность обозначается через . Множество , эквивалентное множеству действительных чисел , называется континуальным, а его кардинальное число c – мощностью континуума.