Упражнения. 1) Точка A задана своими координатами в прямоугольной системе координат Oxy

1) Точка A задана своими координатами в прямоугольной системе координат Oxy. Система Oxy подвергается параллельному переносу, O ¢ - начало новой системы O ¢ x ¢ y ¢. Найти координаты точки A в новой системе:

а) A (3, -4), O ¢ =(2, 1);

б) A (4, 2), O ¢ =(-2, 3);

в) A (2, -5), O ¢ =(3, -2).

Решение. а) Применяем формулу (3.1), из которой следует x ¢ = x - x ₀, y ¢ = y - y ₀, где (x ₀, y ₀) - координаты нового начала координат O ¢. Имеем x ₀=2, y ₀=1, x =3, y =-4. Поэтому x ¢ =3-2=1, y ¢ =-4-1=-5, то есть (1, -5) - координаты точки A в системе O ¢ x ¢ y ¢.

Ответ: (1, -5).

2) Известны: прямоугольные координаты точки A в новой системе, которая получена параллельным переносом; координаты начала O ¢ в старой системе. Найти координаты A в старой системе:

а) A (3, -4), O ¢ =(2, 1);

б) A (4, 2), O ¢ =(-2, 3);

в) A (2, -5), O ¢ =(3, -2).

Решение. Указание. Известны (x ₀, y ₀) и (x ¢, y ¢) из формул (3.1). Найти (x, y).

3) Новая прямоугольная система Ox ¢ y ¢ получается поворотом вокруг начала О на угол a. Известны новые координаты точки А. Найти старые:

а) a = , A (4, -2);

б) a = , A (-3, 1);

в) a = , A (2, 3).

Решение. а) Применяем формулы (3.3). Имеем a = , (x ¢, y ¢) =(4, -2). Поэтому

x =4cos -(-2)sin =4× +2× =2+ ,

y =4sin +(-2)cos =4× -2× =2 -1,

то есть (2+ , 2 -1) - старые координаты точки А.

Ответ: а) (2+ , 2 -1).

4) Новая прямоугольная система Ox ¢ y ¢ получается поворотом вокруг начала О на угол a. Известны старые координаты точки А. Найти новые:

а) a = , A (4, -2);

б) a = , A (-3, 1);

в) a = , A (2, 3).

Решение. а) В формуле (3.3) имеем a = , (x, y) =(4, -2), то есть имеем систему

Û

Решаем последнюю систему:

Û

Далее воспользуемся правилом Крамера:

D= =4, D₁= =8-4 , D₂= =-4-8 ,

x ¢ = = =2- , y ¢ = = =-1-2 ,

то есть (2- , -1-2 ) - новые координаты точки А.

Ответ: а) (2- , -1-2 ).