Линейная зависимость векторов. Базис линейного пространства

2.2.1. Определение. Пусть a ₁, a ₂, …, a_k ¾ некоторая система векторов линейного пространства V над полем F, a ₁, a ₂, …, a_k ¾ элементы из F. Вектор a ₁ a ₁+ a ₂ a ₂+…+ a_ka_k называется линейной комбинацией векторовa ₁, a ₂, …, a_k.

2.2.2. Определение. Вектора a ₁, a ₂, …, a_k называются линейно независимыми, если равенство a ₁ a ₁+ a ₂ a ₂+…+ a_ka_k =0 возможно только при a ₁= a ₂=…= a_k =0.

2.2.3. Определение. Базисом линейного пространства V называется такая линейно независимая система векторов (e ₁, e ₂, …, e_k), что каждый вектор пространства V можно представить как линейную комбинацию этих векторов.

Если (e ₁, e ₂, …, e_n) и (, , …, ) ¾ два различных базиса пространства V, то n = m. Другими словами, число базисных векторов одного и того же линейного пространства является величиной постоянной. Эта величина называется размерностью пространстваV.