Линейное пространство

Понятие линейного пространства. Арифметическое линейное пространство. Подпространство линейного пространства.

2.1.1. Определение. Линейным пространством над полем F называется множество V, на котором определена алгебраическая операция «+» и для любых элементов a из F и x из V ставится в соответствие однозначно элемент ax из V, при этом выполняются следующие свойства:

1. Для любых x и y из V

x + y = y + x.

2. Для любых x, y и z из V

(x + y)+ z = x +(y + z).

3. В V существует такой элемент 0 _V, что для любого x из V

x +0 _V = x.

4. Для любого x из V существует y Î V такой, что

x + y =0 _V.

5. Для любого x из F

1 _Fx = x.

6. Для любых a, b из F и x из V

a (b x)=(ab) x.

7. Для любых a, b из F и x из V

(a + b) x = ax + bx.

8. Для любых a из F и x, y из V

a (x + y)= ax + ay.

Элементы линейного пространства называются векторами, а само линейное пространство иногда называется векторным пространством. Элемент 0 _V из условия 3) называется нулевым вектором линейного пространства V, элемент y из условия 4) называется противоположным к x и обозначается через - x.

В обозначениях нулей 0 _F и 0 _V поля и векторного пространства обычно индексы F и V опускаются, так как из контекста обычно ясно, о каком нуле идёт речь.

Для векторов x и y пространства V элемент x +(- y) обозначается через x - y и называется разностью векторов x и y.

2.1.2. Определение. Пусть X и Y ¾ подмножества линейного пространства V над полем F. CуммойX и Y называется множество { x + y | x Î X, y Î Y }. Сумма X и Y обозначается через X + Y. Таким образом,

X + Y ={ x + y | x Î X, y Î Y }.

2.1.3. Определение. Пусть A_n ¾ множество всех упорядоченных наборов элементов поля F:

A_n ={(a ₁, a ₂, …, a_n)| a_i Î F, i =1, …, n }.

Тогда A_n относительно операций сложения и умножения на a из F, определённых соответственно по правилам

(a ₁, a ₂, …, a_n)+(b ₁, b ₂, …, b_n)=(a ₁+ b ₁, a ₂+ b ₂, …, a_n + b_n),

a (a ₁, a ₂, …, a_n)=(aa ₁, aa ₂, …, aa_n)

образует линейное пространство над полем F, которое называется арифметическим линейным пространством над полем F.

2.1.4. Определение. Пусть V ₁ ¾ подмножество линейного пространства V над полем F. Если V ₁ является линейным пространством над полем F относительно операций, определяющих V, то V ₁ называется подпространством пространства V.

2.1.5. Подмножество V ₁ линейного пространства V над полем F является его подпространством тогда и только тогда, когда для любых a из F и x, y из V ₁ x + y Î V ₁ и ax Î V ₁.