Упражнения. 3.1.2. Решить матричные уравнения

3.1.2. Решить матричные уравнения:

а) X = ; б) X = ;

в) X = ; г) X = ;

д) X = ; е) X = ;

ж) X = ; з) X = .

3.2.2. Найти все матрицы, перестановочные с данной матрицей (над полем R):

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) .

Приложения

Приложение 1. Варианты индивидуальных заданий.

Варианты индивидуальных заданий приведены ниже в таблице. Во всех вариантах предлагается выполнить следующие задания:

Задание 1. Решить системы методом Гаусса.

Задание 2. Решить систему используя:

а) матричный метод;

б) правило Крамера.

Задание 3. Исследовать систему на совместность и, в случае совместности, найти её решения в виде суммы частного и общего решения приведённой однородной.

Во всех заданиях сделать проверку.

Вариант 1		Вариант 2
Задание 1 а)		Задание 1 а)
б)		б)
в)		в)
Задание 2		Задание 2
Задание 3 а)		Задание 3 а)
б)		б)

Вариант 3		Вариант 4
Задание 1 а) б) в)		Задание 1 а) б) в)
Задание 2		Задание 2
Задание 3 а) б)		Задание 3 а) б)

Вариант 5		Вариант 6
Задание 1 а) б) в)		Задание 1 а) б) в)
Задание 2		Задание 2
Задание 3 а) б)		Задание 3 а) б)

Вариант 7		Вариант 8
Задание 1 а) б) в)		Задание 1 а) б) в)
Задание 2		Задание 2
Задание 3 а) б)		Задание 3 а) б)

Вариант 9		Вариант 10
Задание 1 а) б) в)		Задание 1 а) б) в)
Задание 2		Задание 2
Задание 3 а)		Задание 3 а)
б)		б)

Вариант 11		Вариант 12
Задание 1 а)		Задание 1 а)
б)		б)
в)		в)
Задание 2		Задание 2
Задание 3 а) б)		Задание 3 а) б)

Вариант 13		Вариант 14
Задание 1 а) б) в)		Задание 1 а) б) в)
Задание 2		Задание 2
Задание 3 а) б)		Задание 3 а) б)

Вариант 15		Вариант 16
Задание 1 а)		Задание 1 а)
б)		б)
в)		в)
Задание 2		Задание 2
Задание 3 а) б)		Задание 3 а) б)

Вариант 17		Вариант 18
Задание 1 а) б) в)		Задание 1 а) б) в)
Задание 2		Задание 2
Задание 3 а) б)		Задание 3 а) б)

Вариант 19		Вариант 20
Задание 1 а) б) в)		Задание 1 а) б) в)
Задание 2		Задание 2
Задание 3 а) б)		Задание 3 а) б)

Вариант 21		Вариант 22
Задание 1 а)		Задание 1 а)
б)		б)
в)		в)
Задание 2		Задание 2
Задание 3 а) б)		Задание 3 а) б)

Вариант 23		Вариант 24
Задание 1 а) б) в)		Задание 1 а) б) в)
Задание 2		Задание 2
Задание 3 а)		Задание 3 а)
б)		б)

Вариант 25		Вариант 26
Задание 1 а)		Задание 1 а)
б)		б)
в)		в)
Задание 2		Задание 2
Задание 3 а)		Задание 3 а)
б)		б)

Приложение 2. Образец выполнения индивидуального задания.

1. Решить системы методом Гаусса:

a) б)

в)

Неопределённую систему решить также методом Жордана-Гаусса

Решение. Метод Гаусса заключается в том, что с помощью последовательного применения элементарных преобразований из 2-го и остальных уравнений исключается неизвестная x ₁, из 3-го и остальных уравнений исключается неизвестная x ₂ и т.д., и так до тех пор, пока не придём к одному из нижерассмотренных ситуаций. Так как при этом мы работаем только с коэффициентами при неизвестных и свободными членами, то метод Гаусса можно свести к элементарным преобразованиям строк расширенной матрицы системы.

а) Оформим решение в виде элементарных преобразований расширенной матрицы системы:

á(1) Из первой строки вычли вторую.

(2) 1-ю строку, умноженную на 3, прибавили ко 2-й; 2-ю вычли из 3-й; 3-ю вычли из 4-й. Таким образом, получили систему

которая равносильна исходной системе. В ней из 3-го и 4-го уравнений исключена неизвестная x ₁ (впрочем, оказалось, что из последнего исключена и x ₂).

(3) 1-ю и 3-ю строки умножили на -1; поменяли местами 2-ю и 3-ю строки.

(4) 2-ю строку, умноженную на 9, прибавили к 3-й. Получили систему

в которой из 3-го и 4-го уравнений кроме x ₁ исключена неизвестная x ₂.

(5) Последнюю строку, умноженную на 3, вычли из 3-й и поменяли их местами. Таким образом, исходную систему привели к треугольному виду:

Теперь из последнего уравнения находим x ₄, подставляя которое в 3-е, находим x ₃ (ниже преобразования (7) и (8)), после чего из 2-го уравнения находим x ₂ (преобразование (9)) и, наконец, из 1-го находим x ₁ (преобразование (10)).

(6) Последнюю строку разделили на -11.

(7) Последнюю строку, умноженную на 3, прибавили к 3-й.

(8) 3-ю строку разделили на 4.

(9) 3-ю строку вычли из 2-й.

(10) 2-ю строку, умноженную на 4, вычли из 1-й.ñ

Следовательно, x ₁=1, x ₂=2, x ₃= -1, x ₄ = -2.

б) Аналогично предыдущему имеем

Последняя строка означает, что 0=1 ¾ противоречие. Значит, система несовместна.

á(1) 1-ю строку, умноженную на 2, на 3 и на 4, вычитаем из 2-й, 3-й и 4-й строк соответственно (исключили x ₁ из 2-го, 3-го и 4-го уравнений).

(2) Сумму 2-й и 3-й строк вычитаем из 4-й.ñ

в)

Ä

á(1) 1-ю строку вычли из второй, вторую - из третьей и четвёртой; исключили из 2-го и остальных уравнений x ₁.

(2) Умножая на 4 и 3, вторую строку прибавили соответственно к 3-й и 4-й; из 3-го и 4-го уравнений кроме x ₁ исключили и x ₂.

(3) Из 4-й строки вычли 3-ю и 3-ю умножили на -1; исключили из 4-го x ₃, кроме того, исключилась и x ₄.ñ

Таким образом, получили систему

Пришли к системе «трапециедального» вида. В ней неизвестных больше, чем уравнений. Поэтому некоторые неизвестные выбираем связанными, а остальные ¾ свободными. Именно, связанные неизвестные ¾ это первые неисключённые неизвестные в уравнениях: x ₁, x ₂, x ₃ и x ₅. Неизвестная x ₄ ¾ свободная.

Ä

á(4) Свободной неизвестной придаём произвольное значение x ₄= a и переносим в правую часть уравнений; из последнего уравнения находим x ₅=0.

(5) 3-ю строку делим на 5.

(6) Из 2-й строки вычли 3-ю.

(7) 2-ю строку, умноженную на 2, вычли из 1-й.ñ

Таким образом, приходим к решению системы:

Получаем окончательно {1- a, 0, 1- a, a, 0) | a Î R }.

В частности, система неопределенная. Решаем ее методом Жордана-Гаусса. Решение также оформляем в виде элементарных преобразований расширенной матрицы:

á(1) 1-ю строку вычли из остальных; исключили из 2-го и остальных уравнений неизвестную x ₁.

(2) 2-ю строку умножили на -1, а затем новую 2-ю, умноженную на 2, вычли из 1-ой и 4-ой, и, умноженную на 3, вычли из 3-ей; исключили неизвестную x ₂ из 1-го, 3-го и 4-го уравнений.

(3) 3-ю строку разделили на -5, а затем новую 3-ю вычли из первой и второй, и, умноженную на 5, прибавили к 4-ой; исключили неизвестную x ₃ из 1-го, 2-го и 4-го уравнений.

(4) Последнюю строку разделили на 2, а затем ее, умноженную на , прибавили к 1-ой, и, умноженную соответственно на и , вычли из 2-ой и 3-ей.ñ

Таким образом, x ₁, x ₂, x ₃ и x ₅ - связанные (базисные) неизвестные, x ₄ - свободная. Придавая последней произвольные значения a и перенося ее в правую часть, приходим к решению {(1- a, 0, 1- a, a, 0}| a Î R }.

Ответ: а) (1; 2; -1; -2);

б) Система несовместна;

в) {1- a, 0, 1- a, a, 0) | a Î R }.

2. Решить систему

над полем R используя:

а) матричный метод;

б) правило Крамера.

Решение: Матричный метод решения систем заключается в том, что если определитель det A основной матрицы A системы, у которой число уравнений равно числу неизвестных, не равен нулю, то столбец X неизвестных ищется по формуле X = A B, где B ¾ столбец неизвестных системы. Таким образом, действуем по следующей схеме:

1) Находим det A, и если det A ¹0, то

2) Находим A .

3) Находим X.

В нашем случае A = , B = . Итак,

1) Находим det A.

det A ищем приведением к треугольному виду:

det A = 1.

á(1) 1-ю строку вычли из остальных.

(2) 2-ю строку вычли из 3-й, 3-ю ¾ из 4-й.

(3) 3-ю строку вычли из 4-й.

(4) Теперь определитель треугольного вида равен произведению диагональных элементов.ñ

Таким образом, det A ¹0. Значит, A существует.

2) НаходимA .

Найдем A методом приписывания единичной матрицы:

áПреобразования (1) ¾ (2) совпадают с соответствующими преобразованиями при нахождении det A.

(4) 4-ю строку, умноженную на 3, вычли из 3-й, 3-ю ¾ из 2-й, 4-ю ¾ из 1-й.

(5) 3-ю строку вычли из 2-й, 2-ю ¾ из 3-й, 3-ю ¾ из 2-й, 2-ю ¾ из 1-й.ñ

Таким образом, A =

3) НаходимX:

X = × = = .

Таким образом, x ₁=1, x ₂=1, x ₃= -1, x ₄ = -1.

б) Правило Крамера заключается в том, что если определитель основной матрицы системы, у которой число уравнений равно числу неизвестных, не равен нулю, то решением системы является , , …, , где D=det A ¾ определитель системы, D _i ¾ определитель, полученный из определителя D заменой i -го столбца на столбец свободных членов.

Как мы видели при решении системы матричным методом, D=1¹0, так что можно к системе применить правило Крамера.

Найдём D _i для всех i =1, 2, 3, 4.

D₁=

- - =1.

á(1) Из 1-го столбца вынесли знак «-» (знак определителя меняется на противоположный) и поменяли местами 1-й и 2-й столбцы (снова поменялся знак определителя на противоположный; в итоге знак перед определителем остаётся «+»).

(2) 1-ю строку, умноженную на 2, 3 и 4, вычли соответственно из 2-й, 3-й и 4-й строк.

(3) Поменяли местами 2-й и 3-й столбцы; знак определителя меняется на противоположный.

(4) 2-ю строку, умноженную на 3 и 6, вычли соответственно из 3-й и 4-й строк.

(5) Поменяли местами 3-ю и 4-ю строки.ñ

D₂=

- - - =1.

á(1) 1-ю строку вычли из остальных.

(2) 2-ю строку, умноженную на 3 и 6, вычли соответственно из 3-й и 4-й строк.

(3) Поменяли местами 2-ю и 4-ю строки.

(4) 2-ю строку, умноженную на 4, вычли из последней.

(5) 3-ю строку, умноженную на 14, прибавили к последней.ñ

D₃= = -1.

á(1) 1-ю строку вычли из 2-й, 2-ю ¾ из 3-й, 3-ю ¾ из 4-й.

(2) 2-ю строку вычли соответственно из 3-й и 4-й.

(3) Разложили определитель по первому столбцу, и полученный снова разложили по первому столбцу.ñ

D₄= = = = -1.

áD₄ вычислили в точности так же, как и D₃.ñ

Теперь находим x ₁= = =1; x ₂= = =-2; x ₃= = =-1; x ₄= = = -1.

Ответ: (1; 1; -1; -1).

3. Исследовать систему на совместность и, в случае совместности, найти её решение в виде суммы частного и общего решения приведённой однородной:

а) б)

Решение. а) Исследуем систему на совместность. Система совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы A системы равен рангу её расширенной матрицы . Поэтому для исследования системы на совместность необходимо и достаточно нахождение рангов матрицы A системы и её расширенной , а затем сравнить найденные ранги. Если ранги A и равны, то система совместна; в противном случае она не совместна.

Ранги будем искать методом окаймления миноров. В нашем случае матрицы A и ¾ следующие:

A = и = .

Среди миноров первого порядка матрицы есть ненулевой: M ₁=1¹0. Он составлен из элемента 1-й строки и 1-го столбца. Окаймляем его 2-м столбцом и 2-й строкой: M ₂= = -11¹0. Продолжаем окаймлять вновь полученные ненулевые миноры:

M ₃= =-47¹0; M ₄= 0.

á(1) 1-ю строку, умноженную на 3 и 1, вычли соответственно из 2-й и 4-й.

(2) Так как сумма 3-й и 4-й строк, умноженная на -1, равна 2-й строке, то определитель равен 0.ñ

= 0.

áАналогично M ₄ñ

=

¹0.

á(1) 1-ю строку, умноженную на 3 и 5, вычли соответственно из 2-й и 4-й.

(2) 3-ю строку, умноженную на 3 и 5, прибавили соответственно ко 2-й и 4-й.

(3) 2-ю строку вычли из 4-й и, умноженную на 4, вычли из 2-й.

(4) Поступили точно так же, как и в (3) при вычислении D₃ в предыдущем примере.ñ

Таким образом, максимальный порядок ненулевых миноров матрицы А равен 4, то есть rg А =4.

Для нахождения rg достаточно окаймить ненулевой минор матрицы 4-й строкой и столбцом свободных членов:

- - ×

2× -2× ¹ 0.

á(1) 1-ю строку, умноженную на соответствующие коэффициенты, вычли из 2-й, 4-й и 5-й строк.

(2) Ко 2-му столбцу прибавили 3-й столбец, у 3-му ¾ 4-й.

(3) Из 2-го, 3-го и 4-го строк вынесли -1.

(4) 2-ю строку, умноженную на 5, вычли из 3-й, умноженной на 2; 2-ю вычли из 4-й; 2-ю, умноженную на 3, вычли из 5-й, умноженной на 2.

(5) Вынесли «-» из 3-й строки и поменяли местами сначала 3-ю и 5-ю строки, затем 3-й и 5-й столбцы.

(6) 3-ю строку, умноженную на 2 и 13, прибавили соответственно к 4-й и 5-й строке.

(7) Разлагаем определители по первому столбцу.ñ

Получаем, что rg =5, то есть rg А ¹ rg и система несовместна.

б) Исследуем систему на совместность (по-прежнему, методом окаймления миноров). Имеем:

A = и = .

Поэтому

M ₁=3¹0, M ₂= = -6¹0, M ₃= (-1)×(-1)³⁺¹ =2¹0.

á(1) Последнюю строку прибавили к 1-й и 2-й.

(2) Разложили определитель по 2-му столбцу.ñ

M ₄= =0, = =0.

Таким образом, rg А =3.

Так как = =0, то rg =3 и ¾ rg А = rg система совместна.

áВо всех определителях M ₄, , и последняя строка равна сумме первых трёхñ

Далее, исходная система равносильна системе

(*)

Так как минор третьего порядка, составленный из коэффициентов при x ₁, x ₂ и x ₃, не равен нулю, то x ₄ и x ₅ ¾ свободные неизвестные.

Теперь действуем по следующей схеме:

1) Находим общее решение однородной приведённой системы (*).

2) Находим частное решение системы.

3) Составляем общее решение исходной системы в виде суммы частного решения системы (*) и общего решения однородной приведённой системы(*).

1) Выпишем однородную приведённую системы (*):

Положим x ₄=1, x ₅=0. Получаем систему

Ä

Для её решения применим метод Гаусса

Ä

Таким образом, первый фундаментальный вектор однородной приведённой системы ¾ e ₁=(-1; -2; -6; 1; 0).

á(1) Исключили из 1-го и 2-го уравнений x ₁.

(2) Из 3-го уравнения исключили x ₃.

(3) Последовательно находим x ₂, x ₃ и x ₁.ñ

Положим x ₄=0, x ₅=1. Получаем систему

Û Ä

Снова применяем метод Гаусса:

Ä Û Û Û

Таким образом, второй фундаментальный вектор однородной системы ¾ e ₂=(2; 4; 10; 0; 1).

áСистема решена аналогичными преобразованиями, как и в предыдущей системеñ.

Находим общее решение однородной приведённой

X ₀= ae ₁+ be ₂= a (-1; -2; -6; 1; 0)+ b (2; 4; 10; 0; 1)=(- a +2 b; -2 a +4 b; -6 a +10 b; a; b).

2) Положив x ₄= x ₅=0, находим частное решение неоднородной (*):

Û Û Û

Таким образом, частное решение исходной системы ¾ X_ч =(0; -1; -3; 0; 0).

3) Найдём общее решение исходной системы.

X_н =(0; -1; -3; 0; 0)+(- a +2 b; -2 a +4 b; -6 a +10 b; a; b)=

=(- a +2 b; -1-2 a +4 b; -3-6 a +10 b; a; b).

Ответ: а) Система несовместна.

б) Система совместна. Общее решение имеет вид (- a +2 b; -1-2 a +4 b; -3-6 a +10 b; a; b), где a, b любые числа.

Приложение 3. Некоторые понятия и факты высшей алгебры.