2015-03-08
519
Бесконечно малые функции.
Определение. Функция f(x) называется бесконечно малой при х®а, где а может быть числом или одной из величин ¥, +¥ или -¥, если.
Бесконечно малой функция может быть только если указать к какому числу стремится аргумент х. При различных значениях а функция может быть бесконечно малой или нет.
Пример. Функция f(x) = xn является бесконечно малой при х®0 и не является бесконечно малой при х®1, т.к..
Теорема. Для того, чтобы функция f(x) при х®а имела предел, равный А, необходимо и достаточно, чтобы вблизи точки х = а выполнялось условие
f(x) = A + a(x),
где a(х) – бесконечно малая при х ® а (a(х)®0 при х ® а).
Свойства бесконечно малых функций:
1) Сумма фиксированного числа бесконечно малых функций при х®а тоже бесконечно малая функция при х®а.
2) Произведение фиксированного числа бесконечно малых функций при х®а тоже бесконечно малая функция при х®а.
3) Произведение бесконечно малой функции на функцию, ограниченную вблизи точки х = а является бесконечно малой функцией при х®а.
|
|
|
Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, предел которой не равен нулю есть величина бесконечно малая.
Используя понятие бесконечно малых функций, приведем доказательство некоторых теорем о пределах, приведенных выше.
Доказательство теоремы 2. Представим f(x) = A + a(x), g(x) = B + b(x), где
, тогда
f(x) ± g(x) = (A + B) + a(x) + b(x)
A + B = const, a(х) + b(х) – бесконечно малая, значит
Теорема доказана.
ВОПРОС №14
Основные теоремы о пределах
Теорема 1. Предел постоянной величины равен ей самой: limx→x0 C = C.
Доказательство. Очевидно, что число 0 – б. м. Пусть C – постоянная. Так
как C = C + 0, то по теореме 3, доказанной на лекции «Предел функции»,
Получаем требуемое.
Рассмотрим конечные пределы двух функций
Lim
x→x0
f (x) = A ∈ R, lim
x→x0
g (x) = B ∈ R.
Теорема 2. Предел суммы двух функций равен сумме их пределов, если
эти пределы конечны:
Lim
x→x0
[f (x) + g (x)] = lim
x→x0
f (x) + lim
x→x0
g (x).Лекция "Теоремы о пределах" 2
Доказательство. Из уже упомянутой теоремы 3, доказанной на лекции «Пре-
дел функции», следует представление функций в виде f (x) = A+α (x), g (x) =
= B + β (x), где α (x), β (x) – б. м. Найдем их сумму
f (x) + g (x) = A + B + α (x) + β (x)
| {z }
Б. м.
.
Мы видим, что сумма функций равна сумме их пределов плюс б. м. Из этого и
Следует требуемое.
Теорема 3. Предел произведения двух функций равен произведению их
пределов, если эти пределы конечны:
Lim
x→x0
f (x) g (x) = lim
x→x0
F (x) lim
x→x0
G (x).
Доказательство. В данном случае
f (x) g (x) = [A + α (x)] + [B + β (x)] = AB + Bα (x) + Aβ (x) + α (x) β (x)
|
|
|
| {z }
Б. м.
.
Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак преде-
ла: limx→x0 Cf (x) = C limx→x0
f (x), C = const
Теорема 4. Предел отношения двух функций равен отношению их пре-
делов, если эти пределы конечны и предел делителя не равен нулю:
Lim
x→x0
F (x)
G (x)
=
limx→x0
F (x)
limx→x0
G (x)
, lim
x→x0
g (x) 6= 0.
Доказательство. Запишем отношение функций так:
F (x)
G (x)
=
A + α(x)
B + β(x)
=
A
B
+
Bα (x) − Aβ (x)
B (B + β (x)).
