Разложение по базису

Линейной комбинацией векторов a1,..., an с коэффициентами x1,..., xn называется вектор

x1a1 +... + xnan.

Чтобы разложить, вектор b по базисным векторам a1,..., an, необходимо найти коэффициенты x1,..., xn, при которых линейная комбинация векторов a1,..., an равна вектору b,

x1a1 +... + xnan = b,

При этом коэффициенты x1,..., xn, называются координатами вектора b в базисе a1,..., an.

4. Базис. Разложение векторов по базису.

Определение. Базисом в пространстве Rn называется любая система из n-линейно независимых векторов. Каждый вектор из Rn, не входящих в базис, можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов, т.е. разложить по базису.

Пусть – базис пространства Rn и. Тогда найдутся такие числа λ1, λ2, …, λn, что.

Коэффициенты разложения λ1, λ2, …, λn, называются координатами вектора в базисе В. Если задан базис, то коэффициенты вектора определяются однозначно.

Пример. Доказать, что векторы образуют базис в R3.

Решение. Покажем, что равенство возможно только при λ1 = λ2 = λ3 =0:

Или

Решив систему, получим λ1=0, λ2=0, λ3=0. Так как все λi=0 (i=1,2,3), то - линейно независимы. Они могут составить базис в R3.