Цепь Маркова для восстанавливаемого элемента систем электроснабжения без преднамеренных отключений

Рассмотрим простейший случай, когда плановые ремонты или любые другие преднамеренные отключения отсутствуют. Элемент СЭС находится в эксплуатации до тех пор, пока не откажет. После отказа выполняется его аварийный ремонт, и элемент снова поступает в эксплуатацию.

Такая упрощенная математическая модель не является чистой абстракцией и соответствует стратегии обслуживания с аварийными ремонтами. По стратегии аварийных ремонтов эксплуатируется практически вся бытовая техника, ряд мало ответственных промышленных потребителей, сельского хозяйства и других отраслей народного хозяйства. Более того, при низком значении ущерба от отказа стратегия аварийных ремонтов является оптимальной с точки зрения минимума средних удельных затрат на ремонт и восстановление [2]. Даже при наличии профилактического обслуживания, его в ряде случаев можно не учитывать. На промышленных предприятиях профилактические ремонты элементов СЭС часто выполняются в выходные или праздничные дни, совместно с ремонтом технологического оборудования, не оказывают влияния на производственный процесс и не ведут к ущербам.

Элемент СЭС без преднамеренных отключений будет иметь лишь два состояния: 0 – работоспособное; 1 – состояние аварийного восстановления. Цепь Маркова для такого элемента может быть изображена в виде направленного графа (рис.2.2), у которого вершины изображают соответствующие состояния элемента, а ребра – события переходов, отказов или восстановлений.

Рис.2.2. Цепь Маркова для элемента без преднамеренных отключений

Пусть в момент времени элемент находится в работоспособном состоянии с вероятностью . Условная вероятность того, что за время не произойдет отказа и элемент останется в работоспособном состоянии равна

.

Безусловная вероятность того, что на интервале времени отказа не произойдет, равна произведению . С другой стороны в момент времени с вероятностью элемент мог находиться в состоянии аварийного ремонта. За время ремонт может завершиться с вероятностью . А вероятность перехода элемента из состояния 1 в состояние 0 равна произведению .

Таким образом, к моменту времени элемент либо останется в состоянии 0, либо перейдет из состояния 1 в состояние 0, а вероятность будет равна сумме

.

Раскрывая скобки, получим дифференциальное уравнение относительно вероятности пребывания элемента в работоспособном состоянии:

.

(2.12)

Аналогично для состояния аварийного ремонта получим:

.

(2.13)

Уравнения (2.12), (2.13) представляют собой систему дифференциальных уравнений относительно вероятностей . Их решение зависит от начальных условий.

Естественно принять, что в начале срока эксплуатации элемент полностью работоспособен, то есть . Для указанных начальных условий решение системы уравнений (2.12), (2.13) может быть записано в виде:

.

(2.14)

Вероятность застать элемент в работоспособном состоянии определяет его коэффициент готовности . Коэффициент аварийного простоя, как вероятность застать элемент в произвольный момент времени в неработоспособном состоянии, равен .