Задача 2.4

Составить систему уравнений Колмогорова для графа состояний резервированной системы, изображенного на рис. 2.5, а-г (в соответствии с вариантом). В данном случае и – неработоспособное состояние; – вероятность нахождения системы в i-ом состоянии; – интенсивность отказа; – интенсивность восстановления. Рассчитать коэффициент готовности системы решив полученную систему уравнений.

1/ч; 1/ч.

Нерезервированная восстанавливаемая система в произвольный момент времени находится в одном из двух состояний: работоспособном или неработоспособном . Процесс её функционирования можно отразить графом состояний (рис. 2.2):

Из состояния в состояние система переходит в результате отказов с интенсивностью , а из в – в результате восстановления с интенсивностью . В дальнейшем будем считать, что потоки отказов и восстановлений являются простейшими: Это значит, что производительность труда ремонтника постоянна и не зависит от времени. Поэтому время восстановления имеет экспоненциальный закон распределения

Процесс функционирования резервированной восстанавливаемой системы является Марковским случайным процессом с дискретными состояниями. Случайный процесс называется дискретным, если его состояние можно пронумеровать и переход из состояния в состояние происходит скачком. Резервированная восстанавливаемая система описывается графом состояний (рис. 2.6).

В отличие от нерезервированной системы резервированная система в общем случае имеет три состояния: – исправное, – неисправное, но работоспособное, – неработоспособное.

Переход системы из состояния в состояние происходит под воздействием потоков отказов и восстановлений. Если все потоки событий, переводящие систему из состояния в состояние, являются пуассоновскими, то случайный процесс есть Марковский процесс и задается системой дифференциальных уравнений.

Система составляется по следующим правилам. Производная вероятности состояния равна сумме стольких слагаемых, сколько стрелок связано с этим состоянием. Каждое слагаемое равно произведению интенсивности потока событий, переводящего систему по данной стрелке, на вероятность того состояния, из которого исходит стрелка. Слагаемое имеет знак минус, если стрелка исходит из данного состояния, а знак плюс – если стрелка направлена в данное состояние. Полученная система уравнений называется системой уравнений Колмогорова.

Например, для графа состояний, показанного на рис.2.7, получим следующую систему дифференциальных уравнений.

(2.15)

Система решается с помощью преобразований Лапласа или численными методами. При справедлива предельная теорема А.А. Маркова: если все интенсивности потоков событий постоянны, а граф состояний таков, что из каждого состояния можно перейти в каждое другое за конечное число шагов, то предельные вероятности состояний существуют и не зависят от начального состояния системы. В соответствии с этой теоремой при производная и система дифференциальных уравнений превращается в однородную систему линейных алгебраических уравнений