2015-03-20
581
Пусть 
- область в трёхмерном пространстве. Векторным полем на называется векторная функция 
, заданная в точках 
, где 
- радиус-вектор точки 
. Аналогично определяется плоское векторное поле.
Векторной линией (силовой линией, линией тока) называется гладкая кривая, касательная к которой в каждой точке имеет направление соответствующего ей вектора поля 
. Векторные линии поля находятся из системы дифференциальных уравнений
.
Если 
- плоская кусочно-гладкая простая (без точек самопересечений) замкнутая кривая, нигде не касающаяся векторных линий поля 
, то поверхность, образованная векторными линиями, пересекающими , называется векторной трубкой поля .
Дивергенцией векторного поля 
называется скалярная величина 
.
Ротором (вихрем) векторного поля называется вектор 
.
Все операции векторного анализа можно выразить при помощи оператора Гамильтона – символического вектора 
(читается - набла), определяемого равенством 
. Так, например: 
, 
, 
.
Оператором Лапласа (лапласианом) называется скалярный символ 
, определяемый равенством 
.
11.95 Найти векторные линии плоского векторного поля 
:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
11.96 Найти векторные линии пространственного векторного поля 
:
а) 
; б) 
.
11.97 Вычислить 
(
, 
): если:
а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
11.98 Вычислить 
(
, ): если:
а) ; б) 
;
в) 
; г) 
.
11.99 Доказать следующие соотношения:
а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
;
е) 
.
11.100 Найти 
, если 
.
11.101 Найти 
, если 
.
11.102 Найти 
. 11.103 Найти 
.
