Теория поля.
Пусть - область в двумерном пространстве. Скалярным полем на называется числовая функция , заданная в точках . Линии , где называются линиями уровня скалярного поля .
Пусть - область в трёхмерном пространстве.
Скалярным полем на называется числовая функция , заданная в точках . Поверхности , где называются поверхностями уровня скалярного поля .
Градиентом скалярного поля называется вектор
.
Производная скалярного поля по направлению произвольного вектора вычисляется по формуле , где , , - направляющие косинусы вектора .
Градиент скалярного поля в точке направлен по нормали к поверхности уровня , проходящей через в сторону возрастания поля, а его модуль равен наибольшей производной по направлению в этой точке.
11.81 Найти линии уровня следующих скалярных полей:
а) ; б) ; в) ; г) .
11.82 Найти поверхности уровня следующих скалярных полей:
а) ; б) ;
в) ; г) .
11.83 Найти градиент скалярного поля в точке , если:
а) , ; б) , .
11.84 Найти угол между градиентами скалярного поля в точках и , если:
|
|
а) , , ;
б) , , .
11.85 Найти, полагая , :
а) ; б) ; в) ; г) .
11.86 Найти точки в которых градиент скалярного поля равен вектору .
11.87 Найти точки в которых градиент скалярного поля перпендикулярен радиус-вектору .
11.88 Найти точки в которых модуль градиента скалярного поля равен 2.
11.89 Найти стационарные точки скалярного поля .
11.90 Найти единичный вектор нормали к поверхности уровня скалярного поля в точке , направленный в сторону возрастания поля.
11.91 Найти производную скалярного поля по направлению вектора в точке , если:
а) , , ;
б) , , .
11.92 Найти производную скалярного поля в точке по направлению радиус-вектора этой точки.
11.93 Найти производную скалярного поля в точке по направлению его градиента ( -радиус вектор точки ).
11.94 Найти скорость и направление наибыстрейшего возрастания скалярного поля в точке .