double arrow

Размещения с повторениями

Из множества, состоящего из элементов, выбирается элементов, при этом важен порядок элементов в каждой выборке. И всё бы было ничего, но довольно неожиданный прикол заключается в том, что любой объект исходного множества мы можем выбирать сколько угодно раз. Образно говоря, от «множества не убудет».

Когда так бывает? Типовым примером является кодовый замок с несколькими дисками, но по причине развития технологий актуальнее рассмотреть его цифрового потомка:

Задача 16

Сколько существует четырёхзначных пин – кодов?

Решение: на самом деле для разруливания задачи достаточно знаний правил комбинаторики: способами можно выбрать первую цифру пин-кода и способами – вторую цифру пин – кода и столькими же способами – третью и столькими же – четвёртую. Таким образом, по правилу умножения комбинаций, четырёхзначный пин – код можно составить: способами.

А теперь с помощью формулы. По условию нам предложен набор из цифр, из которого выбираются цифры и располагаются в определенном порядке, при этом цифры в выборке могут повторяться (т.е. любой цифрой исходного набора можно пользоваться произвольное количество раз). По формуле количества размещений с повторениями:

Ответ: 10000

Что тут приходит на ум… …если банкомат «съедает» карточку после третьей неудачной попытки ввода пин – кода, то шансы подобрать его наугад весьма призрачны.

И кто сказал, что в комбинаторике нет никакого практического смысла?

Задача 17

Согласно государственному стандарту, автомобильный номерной знак состоит из 3 цифр и 3 букв. При этом недопустим номер с тремя нулями, а буквы выбираются из набора А, В, Е, К, М, Н, О, Р, С, Т, У, Х (используются только те буквы кириллицы, написание которых совпадает с латинскими буквами).

Сколько различных номерных знаков можно составить для региона?

И в заключение очень кратко о том, что иногда на практике встречаются нестандартные, а точнее, краснокнижные задачи, вычисления в которых не подпадают ни под одну из рассмотренных формул. Вот, пожалуй, один из самых известных примеров: в шахматном турнире участвует человек и каждый с каждым играет по 1-й партии. Сколько всего партий сыграно в турнире?

Для решения данной задачи удобно ориентироваться по турнирной таблице размером клеток, в которой результат каждой партии учитывается дважды и, кроме того, затушёвываются клетки «главной диагонали» (т.к. каждый участник не может играть сам с собой). Исходя из проведённых рассуждений, общее количество сыгранных партий рассчитывается по формуле .

Эквивалентной является задача о рукопожатиях: в отделе работает мужчин и каждый с каждым здоровается за руку, сколько рукопожатий они совершат за день? К слову, шахматисты тоже пожимают друг другу руку перед каждой партией.

Решения и ответы:

Задача 2: Решение: найдём количество всех возможных перестановок 4-х карточек:

Когда карточка с нулём располагается на 1-м месте, то число становится трёхзначным, поэтому данные комбинации следует исключить. Пусть ноль находится на 1-м месте, тогда оставшиеся 3 цифры в младших разрядах можно переставить способами.

Примечание: т.к. карточек немного, то здесь несложно перечислить все такие варианты:
0579
0597
0759
0795
0957
0975

Таким образом, из предложенного набора можно составить:
24 – 6 = 18 четырёхзначных чисел
Ответ: 18

Задача 4: Решение: способами можно выбрать 3 карты из 36-ти.
Ответ: 7140

Задача 6: Решение: способами.

Другой вариант решения: способами можно выбрать 2-х человек из группы и способами распределить должности в каждой выборке. Таким образом, старосту и его заместителя можно выбрать способами.
Ответ: 506

Задача 9: Решение:
способами может быть сдана десятка и туз («каждая десятка с каждым тузом»);
способами может быть сдана пара тузов.
Итого: выигрышные комбинации.
Ответ: 22

Задача 11: Решение:
1) способами можно выбрать этаж для выхода всех пассажиров.

2) способами можно выбрать 2 этажа для выхода пассажиров (например, 6-ой и 11-й этаж).
способами можно выбрать 2-х человек для выхода на одном этаже (третий выйдет на другом этаже). Например:

Кроме того, любую пару и «одинокого человека» можно поменять этажами:

Таким образом, для каждой пары этажей (55 уникальных сочетаний) возможно способов выхода пассажиров.
По правилу умножения комбинаций: способами 2 пассажира могут выйти на одном этаже, а третий – на другом этаже.

3) способами пассажиры могут выйти на разных этажах.
Второй вариант решения: способами можно выбрать 3 этажа для выхода и способами переставить пассажиров по каждой тройке этажей; следовательно, пассажиры могут выйти на разных этажах способами.

4) Способ первый: суммируем комбинации первых трёх пунктов:
способом пассажиры могут выйти из лифта.
Способ второй: в общем случае он более рационален, более того, позволяет обойтись без результатов предыдущих пунктов. Рассуждения таковы: способами может выйти 1-й пассажир из лифта и способами может выйти 2-й пассажир и способами может выйти 3-й пассажир. По правилу умножения комбинаций: способом могут выйти три человека

Ответ: 1) 11; 2) 330; 3) 990; 4) 1331

Задача 13: Решение: по формуле количества перестановок с повторениями:
способами можно составить расписание занятий на неделю.
Ответ: 105

Задача 15: Решение: используем формулу сочетаний с повторениями:
способами можно выбрать 3 монеты из кошелька.
Ответ: 20
Ответы на вопросы:
1) Да (т.к. количество извлекаемых монет (3 шт.) меньше видов монет (4 вида));
2) Самый «дешёвый» набор содержит 3 рублёвые монеты, а самый «дорогой» – 3 десятирублёвые.

Задача 17: Решение: способами можно составить цифровую комбинацию автомобильного номера, при этом одну из них (000) следует исключить: .
способами можно составить буквенную комбинацию автомобильного номера.
По правилу умножения комбинаций, всего можно составить:
автомобильных номера
( каждая цифровая комбинация сочетается с каждой буквенной комбинацией).
Ответ: 1726272


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: